【新高考复习】专题3.3 函数的奇偶性与周期性 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

专题3.3函数的奇偶性与周期性1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)fxkxbk，则“(0)0f”是“函数()fx为奇函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】化简“(0)0f”和“函数()fx为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f，所以0b，函数()fx为奇函数，所以()()0fxkxbfxkxb，所以0b.所以“(0)0f”是“函数()fx为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数yfx的大致图象如图所示，则fx的解析式可能是（）A．1xfxxB．1xfxxC．21xfxxD．21xfxx【答案】C练基础【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案【详解】解：由图可知，当(0,1)x时，()0fx，取12x，则对于B，112()101212f，所以排除B，对于D，1122()012314f，所以排除D，当0x时，对于A，1111xfxxx，此函数是由1yx向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x时，()1fx恒成立，而图中，当1x时，()fx可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间0,1上单调递增的是（）A．yxxB．1yxxC．xxyee﹣D．2logyx【答案】C【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数yxx的定义域是[0,)，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1yxx在0,1上单调递减，故错误；C.因为xxxxfxeeeefx﹣，所以函数是奇函数，且在0,1上单调递增，正确；D.因为22log=logfxxxfx，所以函数是偶函数，故错误；故选：C．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,xDxx为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A．()Dx不是周期函数B．()Dx是奇函数C．()yDx的图象存在对称轴D．()Dx是周期函数，且有最小正周期【答案】C【解析】当m为有理数时恒有()()DxmDx，所以()Dx是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x是有理数还是无理数总有()()DxDx，所以函数()Dx为偶函数，图象关于y轴对称．【详解】当m为有理数时，1,1,xDxmx为有理数为无理数，()()DxmDx，任何一个有理数m都是()Dx的周期，()Dx是周期函数，且无最小正周期，选项A，D错误，若x为有理数，则x也为有理数，()()DxDx，若x为无理数，则x也为无理数，()()DxDx，综上，总有()()DxDx，函数()Dx为偶函数，图象关于y轴对称，选项B错误，选项C正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R上的函数fx，下列说法正确的是（）A．若fx是奇函数，则1fx的图像关于点1,0对称B．若对xR，有11fxfx，则fx的图像关于直线1x对称C．若函数1fx的图像关于直线1x对称，则fx为偶函数D．若112fxfx，则fx的图像关于点1,1对称【答案】ACD【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A，fx是奇函数，故图象关于原点对称，将fx的图象向右平移1个单位得1fx的图象，故1fx的图象关于点（1，0）对称，正确；对B，若对xR，有11fxfx，得2fxfx，所以fx是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x对称，错误.；对C，若函数1fx的图象关于直线1x对称，则fx的图象关于y轴对称，故为偶函数，正确；对D，由112fxfx得112,202ffff，312,422,ffff，fx的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()fx在区间0,上是增函数,则满足1(21)()3fxf的x的取值是（）A．0B．12C．712D．1【答案】BC【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x，解得1233x，只有BC满足．故选：BC．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数fx的定义域为R，且1fx与1fx都为奇函数，则下列说法正确的是（）A．fx是周期为2的周期函数B．fx是周期为4的周期函数C．2fx为奇函数D．3fx为奇函数【答案】BD【解析】AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合1fx，1fx为奇函数判断.【详解】因为函数fx的定义域为R，且1fx与1fx都为奇函数，所以11fxfx，11fxfx，所以2fxfx，2fxfx，所以22fxfx，即4fxfx，故B正确A错误；因为3341fxfxfx，且1fx为奇函数，所以3fx为奇函数，故D正确；因为2fx与1fx相差1，不是最小周期的整数倍，且1fx为奇函数，所以2fx不为奇函数，故C错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对xR，0fxfx”的函数fx___________.【答案】3x（答案不唯一）【解析】分析可知函数fx的定义域为R，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数fx的定义域为R，且该函数为奇函数，可取3fxx.故答案为：3x（答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()yfx为R上的奇函数，且其图象关于点2,0对称，若11f，则2021f__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而2021(1)1ff.【详解】函数关于点2,0对称，则()(4)fxfx，又()yfx为R上的奇函数，则()(4)(4)fxfxfx，因此函数的周期为4，因此2021(1)1ff.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()fx的定义域为R，函数()gx是奇函数，且()()2xgxfx，若(1)1f，则(1)f___________．【答案】32【解析】通过计算(1)(1)gg可得．【详解】因为()gx是奇函数，所以(1)(1)0gg，即1(1)2(1)02ff，所以53(1)122f．故答案为：32．1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R的函数fx的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y轴对称的图象，则关于函数fx的性质叙述一定正确的是（）A．0fxfxB．11fxfxC．fx是周期函数D．fx存在单调递增区间【答案】C【解析】练提升TIDHNE通过举例说明选项ABD错误；对于选项C可以证明判断得解.【详解】定义域为R的函数fx的图象沿x轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y轴对称的图象，∴fx的图象既有对称中心又有对称轴，但fx不一定具有奇偶性，例如sin3fxx，由0fxfx，则fx为奇函数，故选项A错误；由11fxfx，可得函数()fx图象关于0x对称，故选项B错误；由0fx时，fx不存在单调递增区间，故选项D错误；由已知设fx图象的一条对称抽为直线xa，一个对称中心为,0b，且ab¹，∴2faxfx，2fxfbx，∴22faxfbx，∴2222faxbfbxbfx，∴442222fxabfbxbfxabfx，∴fx的一个周期4Tab，故选项C正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数fx在R上是减函数，且满足fxfx，若31log10af，3log9.1bf，0.82cf，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cbaC．bacD．cab【答案】B【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331loglog9.1210，根据指数函数单调性可知0.822；利用fx为减函数可知0.8331loglog9.1210fff，结合fx为奇函数可得大小关系.【详解】33331loglog10log9.1log9210，0.822即：0.8331loglog9.1210又fx是定义在R上的减函数0.8331loglog9.1210fff又fx为奇函数3311loglog1010ff0.8331loglog9.1210fff，即：cba.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f(x)为R上的奇函数，且()(2)fxfx，当[0,1]x时，22xxafx，则f(101)+f(105)的值为（）A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)fxfx求得函数f(x)是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0，又由x∈[0，1]时，()22xxafx，则有f(0)=1+a=0，解可得：a=﹣1，则有1()22xxfx，又由f(﹣x)=f(2+x)，即f(x+2)=﹣f(x)，则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222ffff，故有f(101)+f(105)=3，故选：A．4．（2021·上海高三二模）若()fx是R上的奇函数，且()fx在[0,)上单调递增，则下列结论：①|()|yfx是偶函数；②对任意的x∈R都有()|()|0fxfx；③()()yfxfx在(,0]上单调递增；④反函数1()yfx存在且在(,0]上单调递增．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()fx是R上的奇函数，得()()fxfx，∴|()||()||()|fxfxfx，所以|()|yfx是偶函数，故①正确；对于②，由()fx是R上的奇函数，得()()0fxfx-+=，而()|()|fxfx不一定成立，所以对任意的xR，不一定有()|()|0fxfx，故②错误；对于③，因为()fx是R上的奇函数，且()fx在[0,)上单调递增，所以()fx在(,0]上单调递增，且()(0)0fxf?，因此2()()[()]yfxfxfx，利用复合函数的单调性，知()()yfxfx在(,0]上单调递增，故③正确.