【新高考复习】人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练12　求数列的通项及前n项和（word版

专题突破练12求数列的通项及前n项和1.(2021·湖南长郡中学月考)已知等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,=9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{}的前n项和Tn.2.(2021·山东威海期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3=8,S5=2a7.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=ancosnπ+2n+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.3.(2021·东北三省四市联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S5=25,且a3-1,a4+1,a7+3成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=(-1)nan+1,Tn是数列{bn}的前n项和,求T2n.4.(2021·陕西西安铁一中月考)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a2=3,a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设Sn为数列{an+2}的前n项和,bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.5.(2021·广东揭阳检测)已知等差数列{an}与正项等比数列{bn}满足a1=b1=3,且b3-a3,20,a5+b2既是等差数列,又是等比数列.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)在以下三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并完成求解.①cn=+(-1)nbn,②cn=an·bn,③cn=.若,求数列{cn}的前n项和Sn.6.(2021·山东菏泽一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2,数列{bn}满足b1=2,(n+2)bn=nbn+1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列,求数列{bncn}的前n项和Tn.7.(2021·广东广州检测)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+3n+1.(1)求证:数列{}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)设数列{an}的前n项和为Sn,求证:.专题突破练12求数列的通项及前n项和1.解:(1)设等比数列{an}的公比为q(q0),由=9a2a6,得=9,所以q2=,所以q=.由2a1+3a2=1,得2a1+3a1·=1,所以a1=.故数列{an}的通项公式为an=.(2)因为bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=-,所以=-=-2(-).所以Tn=+…+=-2(-)(-)+…+(-)=-.所以数列{}的前n项和Tn=-.2.解:(1)设{an}的公差为d,依题意,{解得{所以an=2+3(n-1)=3n-1.(2)因为bn=ancosnπ+2n+1=(-1)nan+2n+1=(-1)n·(3n-1)+2n+1,所以T2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)+(22+23+…+22n+1)=3n+--=3n+22n+2-4.3.解:(1)由题意可知S5==5a3=25,所以a3=5.设等差数列{an}的公差为d,由a3-1,a4+1,a7+3成等比数列,可得(6+d)2=4(8+4d),整理得d2-4d+4=0,解得d=2.所以an=a3+(n-3)d=2n-1.(2)因为bn=(-1)nan+1=(-1)n(2n-1)+1,所以T2n=(-1+1)+(3+1)+(-5+1)+(7+1)+…+[-(4n-3)+1]+(4n-1+1)=4n.4.解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0),则由题意,可知{解得{∴an=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)得an+2=2n+1,∴Sn=(a1+2)+(a2+2)+(a3+2)+…+(an-1+2)+(an+2)=3+5+7+…+(2n-1)+(2n+1)==n2+2n.∴bn=(-).∴Tn=b1+b2+b3+…+bn-1+bn=(-)(-)(-)+…+(--)+=(--).5.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q0),由已知得20=b3-a3=a5+b2,即20=3q2-(3+2d),20=(3+4d)+3q,解得d=2,q=3,所以an=2n+1,bn=3n.(2)若选择①,则cn=+(-1)nbn=+(-3)n=(-)+(-3)n,所以Sn=c1+c2+…+cn=(-)+(-3)1+(-)+(-3)2+…+(-)+(-3)n=(-)-----.若选择②,则cn=an·bn=(2n+1)3n,所以Sn=c1+c2+…+cn=3×3+5×32+…+(2n+1)3n,3Sn=3×32+5×33+…+(2n+1)3n+1,两式相减得-2Sn=32+2×32+2×33+…+2×3n-(2n+1)3n+1=-2n·3n+1,所以Sn=n·3n+1.若选择③,则cn=,所以Sn=c1+c2+…+cn=(-)++…+[-].6.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由an+1=2Sn+2,可得an=2Sn-1+2(n≥2),两式相减得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an,整理得an+1=3an,可知q=3.令n=1,则a2=2a1+2,即3a1=2a1+2,解得a1=2.故an=2·3n-1.由b1=2,(n+2)bn=nbn+1,得,则当n≥2时,bn=---·…··b1=--·…·×2=n(n+1).又b1=2满足上式,所以bn=n(n+1).(2)若在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为cn的等差数列,则an+1-an=(n+1)cn,即2·3n-2·3n-1=(n+1)cn,整理得cn=-,所以bncn=4n·3n-1,所以Tn=b1c1+b2c2+b3c3+…+bn-1cn-1+bncn=4×1×30+4×2×31+4×3×32+…+4·(n-1)3n-2+4·n·3n-1=4[1×30+2×31+3×32+…+(n-1)3n-2+n·3n-1],3Tn=4[1×31+2×32+…+(n-1)3n-1+n·3n],两式相减得-2Tn=4(30+31+32+…+3n-1-n·3n)=4(---)=(2-4n)·3n-2,所以Tn=(2n-1)3n+1.7.(1)证明:由an+1=3an+3n+1,得+1,即=1.又,所以数列{}是以为首项,1为公差的等差数列.(2)解:由(1)得+(n-1)×1=n-,所以an=(-)·3n.(3)证明:由(2)得Sn=(-)×31+(-)×32+…+[--]×3n-1+(-)×3n,3Sn=(-)×32+(-)×33+…+(n-1)-×3n+(-)×3n+1,两式相减得2Sn=(-)×3n+1---1=n-×3n+1+,故Sn=(-)3n+1+,从而(-)(-).