【新高考复习】考点26 同角三角函数的基本关系及诱导公式（原卷版）

考点26同角三角函数的基本关系及诱导公式【命题解读】理解正弦、余弦、正切的诱导公式[2kπ＋α(kZ)，－α，π±α，π2±α]．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明【基础知识回顾】1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π2(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋αsinα－sinα－sinαsin_αcos_αcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsin_α－sin_αtanαtanα－tanα－tan_α3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，转化的一般步骤如下：即：去负—脱周—化锐的过程．上述过程体现了转化与化归的思想方法．4、三角形中的三角函数关系式sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC；tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC；sinA2＋B2＝sinπ2－C2＝cosC2；cosA2＋B2＝cosπ2－C2＝sinC2.1、是第三象限角，且3sin-2，则tan（）A．-3B．3C．3-3D．332、已知sin22sin3cos5，则tan（）A．6B．6C．23D．233、sin600°＋tan240°的值为（）A.332B.32C.32D.3324、已知sinα＋π3＝1213，则cosπ6－α等于()A.513B.1213C．－513D．－12135、化简：tan(π－α)cos(2π－α)sin－α＋3π2cos(－α－π)sin(－π－α)的值为（）A.2B.1C.1D.26、sin4π3·cos5π6·tan－4π3的值为（）A.334B.34C.34D.334考向一三角函数的诱导公式例1、已知α是第三象限角，且f(α)＝sin(π－α)·cos(2π－α)·tan(α＋π)tan(－α－π)·sin(－α－π)．(1)若cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(2)若α＝－1860°，求f(α)的值．变式1、角的终边在直线2yx上，则sincossincos（）A．13B．1C．3D．1变式2、已知sin(3π＋θ)＝13，则cos()π＋θcosθ[cos（π－θ）－1]＋cos()θ－2πsinθ－3π2cos()θ－π－sin3π2＋θ＝____．变式3、已知f(α)＝2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(sinα≠0且1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝________.方法总结：1、熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．”2．明确三角函数式化简的原则和方向(1)切化弦，统一名．(2)用诱导公式，统一角．(3)用因式分解将式子变形，化为最简．考向二同角函数关系式的运用例2(1)若α是三角形的内角，且tanα＝－13，则sinα＋cosα的值为___．(2)已知sinαcosα＝18，且5π4＜α＜3π2，则cosα－sinα的值为____．变式1、若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋2sinαcosα＝___．变式2、(1)若tan(α－π)＝12，则sin2α＋1cos2α－sin2α＝()A.－12B.－2C.12D.2(2)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于()A.－43B.54C.－34D.45方法总结：本题考查同角三角函数的关系式．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcosα＝tanα可以实现角α的弦切互化，如果没有给出角的范围，则要分类讨论．应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．所求式是关于sinα，cosα的齐次式时，分子分母同除以cosα，可化成tanα的函数式求值．本题考查运算求解能力，考查函数与方程思想．考向三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3、已知cos(75°+α)=13，且α是第三象限角，求cos(15°-α)+sin(α-15°)的值．变式1、已知sin(3πα)=2cos3π()2，3cos(α)=2cos(π+β)，0απ，0βπ，求α，β的值．方法总结：1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.1、（2016新课标卷3，理5）若，则(A)(B)(C)1(D)2、（2016全国课标卷3，文6）若，则（）（A）（B）（C）（D）3、(2012江西)若，则tan2α=（）A．−B．C．−D．4、在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．5、已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．3tan42cos2sin2642548251625tan13cos245151545sincos1sincos234344343