【新高考复习】专题7.5 数列的综合应用 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲

专题7.5数列的综合应用新课程考试要求1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式及其应用.2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题.核心素养本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.考向预测1.根据数列的递推式或者通项公式确定基本量，选择合适的方法求和，进一步证明不等式2.数列与函数、不等式相结合.3.复习中注意:（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法；（3)数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题.【知识清单】知识点一．等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义1nnaa＝常数1nnaa＝常数通项公式)0(111qaqaann判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：212nnnaaanN⇔{}na为等差数列；(3)通项公式法：napnq(,pq为常数,nN)⇔{}na为等差数列；(4)前n项和公式法：2nSAnBn(,AB为常数,nN)⇔{}na为等差数列；(5){}na为等比数列，且0na，那么数列{log}ana(0a，且1a)(1)定义法(2)中项公式法：nN(0na)⇔{}na为等比数列(3)通项公式法：nnacq(,cq均是不为0的常数，nN)⇔{}na为等比数列(4){}na为等差数列⇔naA(naA总有意义)为等比数列1(1)naand212nnnaaa为等差数列性质(1)若，，，，且，则(2)(3)，…仍成等差数列(1)若，，，，且，则(2)mnmnqaa(3)等比数列依次每n项和(0nS)，即，…仍成等比数列前n项和1q时，1naSn；当时，qqaSnn1)1(1或11nnaaqSq.知识点二．数列求和1.等差数列的前和的求和公式：.2．等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，qqaSnn1)1(1或11nnaaqSq；当1q时，1naSn（错位相减法）.3.数列前项和①重要公式：（1）123n（2）13521n（3）（4）②等差数列中，mnmnSSSmnd；③等比数列中，nmmnnmmnSSqSSqS.mnpqNmnpqmnpqaaaa()nmaanmdmnpqNmnpq11()(1)22nnnaannSnad1qn11()(1)22nnnaannSnad123,,,,,naaaannS123naaaa1qn1nkk2)1(nn1(21)nkk2n31nkk2333)1(2121nnn21nkk)12)(1(613212222nnnn【考点分类剖析】考点一等差数列与等比数列的综合问题【典例1】（2021·全国高三月考（文））已知na是等差数列，11a，410a，且1a，kakN，6a是等比数列nb的前3项.（1）求数列na，nb的通项公式；（2）数列nc是由数列na的项删去数列nb的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列nc的前20项的和.【答案】（1）32nan，14nnb；（2）767.【解析】（1）根据14,aa以及等差数列的通项公式计算即可得到na结果，然后根据216kaaa可得k，最后简单计算可得nb.（2）根据（1）的条件可知求解的是2012241234SaaabbbbL，计算即可.【详解】（1）数列na是等差数列，设公差为d，且11a，410a.则111310aad，解得3d，所以13132nann.又因为1a，ka，6a是等比数列nb的前3项，则216kaaa，由于32kak，代入上式解得2k.于是11b，24b，316b，因此等比数列nb的公比4q.故数列nb的通项公式为14nnb.（2）设数列nc的前20项的和为20S.因为3422464ba，45864256ba，则2012241234SaaabbbbL242324131416647672.【典例2】（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，满足639S，且2a，4a，12a成等比数列.（1）求数列na的通项公式；（2）若2nannba，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）34nan；（2）28351142214nnnnT.【解析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式，用首项和公差表示已知条件，化简后解方程组求得首项和公差，进而得到通项公式；（2）由（1）可得nb通项公式，采用分组求和的方法，对nb的两个部分分别采用等比数列求和、等差数列的求和公式求和，进而得到nT.【详解】（1）设等差数列na公差为0dd，61656+392Sad113522ad①，2a，4a，12a成等比数列得：2111()(11)(+3)adadad,整理得：2130dad,∵0d，∴13da②,由①②解得：3d，11a，13134nann（2）由（1）得：34234nnbn,由于122822nnadan为常数,∴数列2na为公比为8的等比数列，125342222(1)2534nnTn1218134182nnn28351142214nnn.【总结提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．【变式探究】1.（浙江省杭州市第二中学2020届高三）已知等比数列{}na的各项均为正数，且132a，34a，2a成等差数列，则20191817aaaa（）A．9B．6C．3D．1【答案】A【解析】设公比为q.由132a，34a，2a成等差数列，可得312322aaa，所以2111322aaqaq，则2230qq，解1q(舍去)或3q.所以22201918171817181279aaaqaqaaaaq.故选A.2.（2017·全国高考真题（文））已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，等比数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，且𝑎1=1，𝑏1=1，𝑎2+𝑏2=4.（1）若𝑎3+𝑏3=7，求{𝑏𝑛}的通项公式；（2）若𝑇3=13，求𝑆5.【答案】（1）𝑏𝑛=2𝑛−1；（2）5或75.【解析】设等差数列{𝑎𝑛}公差为𝑑，等比数列{𝑏𝑛}公比为𝑞(𝑞≠0)有(1+𝑑)+𝑞=4，即𝑑+𝑞=3.（1）∵(1+2𝑑)+𝑞2=7，结合𝑑+𝑞=3得𝑞=2，∴𝑏𝑛=2𝑛−1.（2）∵𝑇3=1+𝑞+𝑞2=13，解得𝑞=−4或3，当𝑞=−4时，𝑑=7，此时𝑆5=5+5×42×7=75；当𝑞=3时，𝑑=0，此时𝑆5=5𝑎1=5.【易错提醒】1.利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为112nn，漏掉前面的系数12；(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．2.应用错位相减法求和时需注意：（1）给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；（2）在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.考点二数列与函数的综合【典例3】（2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考）已知数列{}na满足：1102a，1ln2nnnaaa．则下列说法正确的是（）A．2019102aB．2019112aC．2019312aD．2019322a【答案】B【解析】考察函数()ln(2)(02)fxxxx，由'11()1022xfxxx可得()fx在0,1单调递增，由'()0fx可得()fx在1,2单调递减且()11fxf，可得1na，数列{}na为单调递增数列，如图所示：且1(0)ln2ln4ln2fe，211()(0)2afaf，)211(21)2(1nnnn图象可得1231012naaaa，所以2019112a，故选B.【典例4】（2020·浙江高三专题练习）已知等比数列na的公比为1，且11a，数列nb满足11nnnbba，111b．（1）求数列nb的通项公式．（2）规定：x表示不超过x的最大整数，如1.22，2.12．若2，122nncbn，记1232nnTccccn求2221nnnTTT的值，并指出相应n的取值范围．【答案】（1）11nnbn，*nN；（2）当2n时，22231nnnTTT；当3n时，22221nnnTTT．【解析】（1）由等比数列的通项公式得na，即可得1nnbb，然后利用累加法求nb即可；（2）由（1）得nc，可求出2T，3T，得到2n和3n时2221nnnTTT的值，然后对nc进行放缩，可得当3n时，74nT，最后通过换元，利用对勾函数的单调性求解即可．【详解】（1）由题意得11nna，则11nnnbb，当2n时，112211nnnnnbbbbbbbb，12111nn121111nnn11nn，又由111b，符合上式，因此11nnbn，*nN．（2）由（1）知，当2时，1102221nnncbn．易知2n时，21243Tcc，此时22210313nnnTTT；3n时，31233121Tccc，此时2221012212110nnnTTT；当3n时，3nTT，因为2n时，113212nnnc，所以1341111182111317131311122242412nnnnT，因此374nTT，令1nxT，则103,214x，22211111nnnnnTTTxTTx，利用对勾函数的单调性，得125,12xAx（其中10122110A），从而22221nnnTTT．综上，当2n时，22231nnnTTT；当3n时，22221nnnTTT．【总结提升】数列与函数的综合问题主要有以下两类：①知函数条件，解决数列问题，此类问题