【新高考复习】专题8.8 立体几何综合问题 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（

专题8.8立体几何综合问题新课程考试要求1.会解决简单的立体几何问题.2．会用向量方法证明直线、平面位置关系的有关命题.3．会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.核心素养本节涉及的数学核心素养：数学运算、逻辑推理、直观想象等.考向预测（1）立体几何中的动态问题.（2）立体几何中的探索性问题.（3）平面图形的翻折问题.（4）立体几何与传统文化（5）立体几何新定义问题（6）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.【考点分类剖析】考点一：立体几何中的动态问题【典例1】（2021·福建高二期末）在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点E，F分别足AEAB，BFBC，其中0,1，0,1，则（）A．当1时，三棱锥11ABEF的体积为定值B．当12时，点A，B到平面1BEF的距离相等C．当12时，存在使得1BD平面1BEFD．当时，11AFCE【答案】ABD【解析】由111111ABEFABECCABEVVV即可判断A；当12时，点E是AB的中点可判断B；建立空间直角坐标系，计算110BDBF可判断C；设AEm，求出所需各点坐标，计算110ACEF可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：当1时，BFBC，此时点F位于点C处，三棱锥1111ABEFABECVV11CABEV，1111111111222ABESABAA为定值，点C到面11ABE的距离为1CB是定值，所以三棱锥11ABEC的体积为定值，即三棱锥11ABEF的体积为定值，故选项A正确；对于B：当12时，点E是AB的中点，所以点A，B到平面1BEF的距离相等，故选项B正确；对于C：当12时，点F是BC的中点，建立如图所示空间直角坐标系，则1,1,0B，10,0,1D，11,1,1B，1,1,02F，可得11,1,0BD，11,0,12BF，所以111110101022BDBF，所以1BD与1BF不垂直，所以不存在使得1BD平面1BEF，故选项C不正确；对于D：设AEm，则1,,0Em，1,1,0Fm，11,0,1A，10,1,1C所以1,1,1AFm，11,1,1CEm，因为11110AFCEmm，所以11AFCE，故选项D正确；故选：ABD.【典例2】（2020·四川南充·高三其他（理））已知三条射线OA，OB，OC两两所成的角都是60°.点M在OA上，点N在BOC内运动，63MNOM，则点N的轨迹长度为()A．2πB．3πC．4πD．5π【答案】C【解析】如图，过M作MD平面BOC于D，则D点在BOC的平分线上，30BOD在平面BOC内，作DEBO于E，连结ME，根据三垂线定理，则MEBOcoscoscoscos60coscos303cos3MOEMODBODMODMOD63MNOM，3cos6363ODOMMOD，点N的轨迹是以D为圆心，6为半径的圆在BOC内的圆弧FPG，120FDG圆弧FPG的长度为：120122643603r故选：C【总结提升】1.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等．2．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹．【变式探究】1.（2020·河北新华·石家庄二中高三月考（理））如图，正方体1111ABCDABCD中，P为底面ABCD上的动点，1PEAC于E，且,PAPE则点P的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分【答案】A【解析】连结1AP，可证11AAPAEP≌，即11AAAE，即点E是体对角线1AC上的定点，直线AE也是定直线．PAPE，∴动点P必定在线段AE的中垂面上，则中垂面与底面ABCD的交线就是动点P的轨迹，所以动点P的轨迹是线段．故选：A2．【多选题】（2021·重庆巴蜀中学高三月考）已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为(02)rr，设圆台的体积为V，则下列选项中说法正确的是（）A．当1r时，733VB．当r在区间0,2内变化时，V先增大后减小C．V不存在最大值D．当r在区间0,2内变化时，V逐渐减小【答案】AB【解析】通过题意得到圆台体积V关于外接球半径r的函数，容易判断A；利用导数探讨该函数的单调性和最值，可以判断B,C,D.【详解】2222211444244(02)333VSSSShrrrrrrr，对选项73A:1,1243,A33rV正确；322344834rrrVr，设323448frrrr，则2984frrr在0,2上单调递减，设0fr的两根为1212,rrrr，由韦达定理12409rr知20,2r，且当20,,0rrfr；2,rr2)，0,frfr在20,r单调递增，在2,2r单调递减，由08,15,224fff，01,2r，使得00fr，当00,,0rrfr，即0;V当0,2,0rrfr，即0V，所以V在00,r单调递增，在0,2r单调递减，则B正确，C，D错误，故选：AB.考点二：立体几何中的探索性问题【典例3】（2021·广东高二期末）如图，在正方体1111ABCDABCD中，M是棱11CD的中点．（1）求二面角DACM的余弦值；（2）在棱1CC（包含端点）上是否存在点E，使//BE平面ACM，给出你的结论，并证明．【答案】（1）13；（2）不存在，证明见解析.【解析】(1)以1,,DADCDD为正交基底建立直角坐标系，求出相应点的坐标，再求平面AMC的一个法向量为n和面ACD的一个法向量为m，然后计算法向量夹角的余弦值，即可得二面角DACM的余弦值；(2)设E的坐标为0,1,01tt，若在棱1CC（包含端点）上存在点E，使//BE平面ACM，根据0BEn求出t，再判断即可.【详解】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系，则10,,12M，1,0,0A，0,1,0C，所以1,1,0AC，11,,12AM．设平面AMC的一个法向量为,,nxyz，则00ACnAMn，即002xyyxz，可得平面AMC的一个法向量为2,2,1nr．又因为平面ACD的一个法向量为0,0,1m，所以2211cos,32211nm．所以二面角DACM的余弦值为13．（2）不存在.证明：设E的坐标为0,1,01tt，因为B的坐标为1,1,0，所以1,0,BEt，若在棱1CC（包含端点）上存在点E，使//BE平面ACM，则0BEn，所以20t，即2t，与01t矛盾，所以棱1CC（包含端点）上不存在点E，使//BE平面ACM．【典例4】（2020·全国）如图，AC是O的直径，点B是O上与A，C不重合的动点，PO平面ABC.（1）当点B在什么位置时，平面OBP平面PAC，并证明之；（2）请判断，当点B在O上运动时，会不会使得BCAP，若存在这样的点B，请确定点B的位置，若不存在，请说明理由.【答案】（1）当OBAC时，平面OBP平面PAC，证明见解析，（2）不存点B使得BCAP，理由见解析【解析】(1)当OBAC时,平面OBP平面PAC,证明如下:OP平面ABC,OP平面ACP,平面ACP平面ABC,OBAC,平面APC平面ABCAC,OB平面PAC,OB平面OBP,∴平面OBP平面PAC;(2)假设存在点B,使得BCAP,点B是O上的动点,BCAB,又BCAP,AB､AP平面PAB,ABAPAI,BC平面PAB,BP平面PAB,BCBP,设OBR,在RtOPC中,有2222PCOCOPROP,在RtOPB中,有2222PBOBOPROP,可得BPPC,故PBC为锐角,这与BCBP矛盾,故不存点B使得BCAP.【典例5】（2020·全国高二课时练习）如图，在三棱柱111ABCABC中，1BB平面ABC，ABBC，12AAABBC.（1）求证：1BC平面11ABC；（2）求异面直线1BC与1AB所成角的大小；（3）点M在线段1BC上，且11((0,1))BMBC，点N在线段1AB上，若MN∥平面11AACC，求11ANAB的值（用含的代数式表示）.【答案】（1）证明见解析（2）3（3）1【解析】（1）在三棱柱111ABCABC中，由1BB平面ABC，所以1BB平面111ABC，又因为1BB平面11BBCC，所以平面11BBCC平面111ABC，交线为11BC.又因为ABBC，所以1111ABBC，所以11AB平面11BBCC.因为1BC平面11BBCC，所以111ABBC又因为12BBBC，所以11BCBC，又1111ABBCB，所以1BC平面11ABC.（2）由（1）知1BB底面ABC，ABBC，如图建立空间直角坐标系Bxyz，由题意得0,0,0B，2,0,0C，10,2,2A，10,0,2B.所以12,0,2BC，10,2,2AB.所以1111111cos,2||||ABBCABBCBABC.故异面直线1BC与1AB所成角的大小为3.（3）易知平面11AACC的一个法向量1,1,0n，由11BMBC，得(2,0,22)M.设11ANAB，得(0,22,22)N，则(2,22,22)MN因为//MN平面11AACC，所以0MNn，即(2,22,22)(1,1,0)0，解得1，所以111ANAB.【规律方法】求解立体几何中探索问题的策略1．条件探索性问题(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．如本例(2)先根据题意猜测点的位置．再结合证明．一般探索点存在问题，点多为中点或三等分点中的一个．2．结论探索性问题首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．【变式探究】1．（2020·四川泸县五中高二开学考试（理））如图，在四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD是正方形，平面11ADB平面ABCD，1AD，12AA.过顶点D，1B的平面与棱BC，11AD分别交于M，N两点.（Ⅰ）