【新高考复习】考点04 不等式及性质（解析版）

考点04不等式及性质【命题解读】不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现。考查不等式的比较大小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除。【基础知识回顾】1、两个实数比较大小的依据(1)a－b＞0⇔a＞b.(2)a－b＝0⇔a＝b.(3)a－b＜0⇔a＜b.2、不等式的性质(1)对称性：ab⇔ba；(2)传递性：ab，bc⇒ac；(3)可加性：ab⇔a＋cb＋c；ab，cd⇒a＋cb＋d；(4)可乘性：ab，c0⇒acbc;ab0，cd0⇒acbd；c0时应变号．(5)可乘方性：ab0⇒anbn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)．3、常见的结论(1)ab，ab0⇒1a1b.(2)a0b⇒1a1b.(3)ab0,0cd⇒acbd.(4)0axb或axb0⇒1b1x1a.4、两个重要不等式若ab0，m0，则(1)bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)．(2)aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．1、下列四个命题中，为真命题的是()A．若ab，则ac2bc2B．若ab，cd，则a－cb－dC．若a|b|，则a2b2D．若ab，则1a1b【答案】C【解析】当c＝0时，A不成立；21，3－1，而2－31－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不成立；由a|b|知a0，所以a2b2，故选C．2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设11ab，0b≠，则下列不等式中恒成立的是（）A．11abB．11abC．2abD．22ab【答案】CD【解析】当12,2ab，满足条件．但11ab不成立，故A错误，当0ab时，11ab，故B错误，11,0bb，201b，则2ab，故C正确，11,0,0ababab，22()()0ababab，故D正确.故选：CD．3、（2020江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（）.A．若，则B．若，，则C．若，且，则D．若，且，则【答案】BCD【解析】ab11ba0ab0cdabdc0ab0c22ccabab11ab0ab选项A：当取，时，，∴本命题是假命题.选项B：已知，，所以，∴，故，∴本命题是真命题.选项C：，∵，∴，∴本命题是真命题.选项D：，∵，∴，∴，∴本命题是真命题.故选：BCD4、若a＝ln22，b＝ln33，则a____b(填“＞”或“＜”)．【答案】＜【解析】：易知a，b都是正数，ba＝2ln33ln2＝log89＞1，所以b＞a.5、已知－1x4,2y3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．【答案】：(－4,2)(1,18)【解析】∵－1x4,2y3，∴－3－y－2，∴－4x－y2.由－1x4,2y3，得－33x12,42y6，∴13x＋2y18.考向一不等式的性质例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知abcd,,,均为实数，则下列命题正确的是（）A．若,abcd，则acbdB．若0,0abbcad，则0cdabC．若,,abcd则adbcD．若,0,abcd则abdc【答案】BC1a1b11ba0ab0cd110dcabdcabdc222211000ababab0c22ccab111100baabababab0ba0ab【解析】若0ab，0cd，则acbd，故A错；若0ab，0bcad，则0bcadab，化简得0cdab，故B对；若cd，则dc，又ab，则adbc，故C对；若1a，2b，2c，1d，则1ad，1bc，1abdc，故D错；故选：BC．变式1、若1a＜1b＜0，给出下列不等式：①1a＋b＜1ab；②|a|＋b＞0；③a－1a＞b－1b；④lna2＞lnb2.其中正确的不等式是()A.①④B.②③C.①③D.②④【答案】C【解析】方法一因为1a＜1b＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.方法二由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0.故有1a＋b＜1ab，即①正确；②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，又1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，所以a－1a＞b－1b，故③正确；④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2＞lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.变式2、已知x，y∈R，且xy0，则()A．1x－1y0B．sinx－siny0C．12x－12y0D．lnx＋lny0【答案】C【解析】函数y＝12x在(0，＋∞)上为减函数，∴当xy0时，12x12y，即12x－12y0，故C正确；函数y＝1x在(0，＋∞)上为减函数，∴由xy0⇒1x1y⇒1x－1y0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当xy0时，不能比较sinx与siny的大小，故B错误；xy0xy1ln(xy)0lnx＋lny0，故D错误．变式3、（2020·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a＋b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则【答案】AD【解析】对于A，若，根据不等式的性质则，故A正确；对于B，当，时，，显然B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，，因为，，所以，，所以所以，即成立，故D正确．故选AD．方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.考向二不等式的比较大小例2、设ab0，试比较a2－b2a2＋b2与a－ba＋b的大小．解法一(作差法)：a2－b2a2＋b2－a－ba＋b＝222222abababababab＝22222222ababababababababab．因为ab0，所以a＋b0，a－b0，2ab0．bbmaam0ab22ab2a2b44ab0c=22acbcbamabmbambbmaamaamaam0ab0m0ba0am0bamaam0bbmaambbmaam所以222abababab0，所以a2－b2a2＋b2a－ba＋b．解法二(作商法)：因为ab0，所以a2－b2a2＋b20，a－ba＋b0．所以a2－b2a2＋b2a－ba＋b＝222abab＝a2＋b2＋2aba2＋b2＝1＋2aba2＋b21．所以a2－b2a2＋b2a－ba＋b．变式1、若a0，b0，则p＝b2a＋a2b与q＝a＋b的大小关系为()A．pqB．p≤qC．pqD．p≥q【答案】：B【解析】(作差法)p－q＝b2a＋a2b－a－b＝b2－a2a＋a2－b2b＝(b2－a2)·1a－1b＝b2－a2b－aab＝b－a2b＋aab，因为a0，b0，所以a＋b0，ab0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q0，故pq.综上，p≤q.故选B.变式2、已知ab0，比较aabb与abba的大小．【解析】∵aabbabba＝aa－bba－b＝baba，又ab0，故ab1，a－b0，∴baba1，即aabbabba1，又abba0，∴aabbabba，∴aabb与abba的大小关系为aabbabba.变式3、设0x1，a0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小解法一：当a1时，由0x1知，loga(1－x)0，loga(1＋x)0，∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，∵01－x21，∴loga(1－x2)0，从而－loga(1－x2)0，故|loga(1－x)||loga(1＋x)|．当0a1时，同样可得|loga(1－x)||loga(1＋x)|．解法二(平方作差)：|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2＝loga(1－x2)·loga1－x1＋x＝loga(1－x2)·loga1－2x1＋x0．∴|loga(1－x)|2|loga(1＋x)|2，故|loga(1－x)||loga(1＋x)|．方法总结：比较大小的方法(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小考向三运用不等式求代数式的取值范围例3、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.【答案】[5，10]【解析】方法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得m＋n＝4，n－m＝－2，解得m＝3，n＝1.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.变式1、设(0,),0,,22那么23的取值范围是____________．【答案】(,)6【解析】：由题设得02,036∴063，∴263变式2、(2020·天津模拟)若α，β满足－π2αβπ2，则2α－β的取值范围是()A．－π2α－β0B．－π2α－βπC．－3π22α－βπ2D．02α－βπ【答案】C【解析】：∵－π2απ2，∴－π2απ.∵－π2βπ2，∴－π2－βπ2，∴－3π22α－β3π2.又α－β0，απ2，∴2α－βπ2.故－3π22α－βπ2.方法总结：求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围1、（2019年高考全国II卷理数）若ab，则A．ln(a−b)0B．3a3bC．a3−b30D．│a││b│【答案】C【解析】取2,1ab，满足ab，ln()0ab，知A错，排除A；因为9333ab，知B错，排除B；取1,2ab，满足ab，12ab，知D错，排除D，因为幂函数3yx是增函数，ab