【新高考复习】考点09 函数的定义域与值域（解析版）

考点09函数的定义域与值域【命题解读】掌握常见函数的定义域以及值域，【基础知识回顾】1、常见函数的定义域：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)y＝ax(a0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx，定义域均为R.(5)y＝tanx的定义域为x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.(6)函数f(x)＝xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.2、求值域常用的方法：图像法；配方法；换元法；分离变量法；反解法；单调性法；基本不等式法，求导；1、（2020·枣庄市第三中学月考）函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】要使函数有意义，则，得，2241logxyx0,2110,,2222,222,2240010xxlogx…22012xxx剟即或，即函数的定义域为，故选：．2、函数的y＝－x2－6x－5值域为()A.[0，＋∞)B.[0，2]C.[2，＋∞)D.(2，＋∞)【答案】B【解析】设μ＝－x2－6x－5()μ≥0，则原函数可化为：y＝μ.又∵μ＝－x2－6x－5＝－()x＋32＋4≤4，∴0≤μ≤4，故μ∈[]0，2，∴函数y＝－x2－6x－5的值域为[]0，2.故选B.3、函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线段OAB，其中A(1，2)，B(3，0)，函数g(x)＝x·f(x)，那么函数g(x)的值域为()A．[0，2]B.0，94C.0，32D．[0，4]【答案】B【解析】由题图可知，直线OA的方程是y＝2x；因为kAB＝0－23－1＝－1，所以直线AB的方程为y＝－(x－3)＝－x＋3.所以f(x)＝2x，0≤x≤1，－x＋3，1x≤3，所以g(x)＝x·f(x)＝2x2，0≤x≤1，－x2＋3x，1x≤3.当0≤x≤1时，g(x)＝2x2，此时函数g(x)的值域为[0，2]；当1x≤3时，g(x)＝－x2＋3x＝－x－322＋94，显然，当x＝32时，函数g(x)取得最大值94；当x＝3时，函数g(x)取得最小值0.此时函数g(x)的值域为0，94.综上可知，函数g(x)的值域为0，94.故选B.4、（多选题）下列函数中定义域是R的有()102x122x„110,,222BA．2xyB．ylgxC．3yxD．tanyx【答案】AC【解析】对于A，函数2xy，定义域为R，满足题意；对于B，函数ylgx，定义域为(0,)，不满足题意；对于C，函数3yx，定义域为R，满足题意；对于D，函数tanyx，定义域为(2k，)2k，kZ，不满足题意．故选：AC．5（2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟）函数12()log(43)fxx的定义域为__________【答案】3(,1]4【解析】根据题意，由于函数12()log(43)fxx，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-31,4x-31,故可知所求的定义域为3(,1]4。考向一求函数的定义域例1、（2020·山东省东明县实验中学月考）函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数，知解之得：故选：B变式1、（2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测）函数12()log(43)fxx的定义域为_____23lg311xfxxx1,31,1311,331,323lg311xfxxx10310xx113x【答案】3(,1]4【解析】根据题意，由于函数12()log(43)fxx，则使得原式有意义的x的取值范围满足4x-31,4x-31,故可知所求的定义域为3(,1]4。变式2、若函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，则实数m的取值范围是()A.0，34B.0，34C.0，34D.0，34【答案】D【解析】∵函数y＝mx－1mx2＋4mx＋3的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或m≠0，Δ＝16m2－12m0，即m＝0或0m34，∴实数m的取值范围是0，34.变式3、已知函数f(x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝fx2＋f(x－1)的定义域为()A．(－2，0)B．(－2，2)C．(0，2)D.－12，0【答案】C【解析】由题意得－1x21，－1x－11，∴－2x2，0x2，∴0x2，∴函数g(x)＝fx2＋f(x－1)的定义域为(0，2)．方法总结：求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解.(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.考向二函数的值域求下列函数的值域．(1)y＝2x－1x＋1，x∈[3，5]；(2)y＝x2－4x＋5x－1(x1)．【解析】(1)(方法1)(单调性法)由y＝2x－1x＋1＝2－3x＋1，结合函数的图像可知，函数在[3，5]上是单调递增函数，∴ymax＝32，ymin＝54，故所求函数的值域是54，32.(方法2)(反表示法)由y＝2x－1x＋1，得x＝1＋y2－y.∵x∈[3，5]，∴3≤1＋y2－y≤5，解得54≤y≤32，即所求函数的值域是54，32.(2)(基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t0)，∴y＝（t＋1）2－4（t＋1）＋5t＝t2－2t＋2t＝t＋2t－2(t0)．∵t＋2t≥2t·2t＝22，当且仅当t＝2，即x＝2＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[22－2，＋∞)．变式1、(2019·深圳调研)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为________．(2)若函数f(x)＝－ax＋b(a0)在12，2上的值域为12，2，则a＝________，b＝________．(3)函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．【答案】(1)[3，＋∞)(2)152(3)2【解析】(1)图象法函数y＝－2x＋1，x≤－1，3，－1x2，2x－1，x≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞)．(2)单调性法∵f(x)＝－ax＋b(a0)在12，2上是增函数，∴f(x)min＝f12＝12，f(x)max＝f(2)＝2.即－2a＋b＝12，－a2＋b＝2，解得a＝1，b＝52.(3)当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.变式2、函数f(x)＝x2＋4x的值域为________________．【答案】(－∞，－4]∪[4，＋∞)【解析】当x0时，f(x)＝x＋4x≥4，当且仅当x＝2时取等号；当x0时，－x＋－4x≥4，即f(x)＝x＋4x≤－4，当且仅当x＝－2取等号，所以函数f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．变式3、(1)函数f(x)＝x＋21－x的最大值为________；(2)函数y＝x－4－x2的值域为________．【答案】(1)2(2)[－22，2]【解析】(1)设1－x＝t(t≥0)，所以x＝1－t2.所以y＝f(x)＝x＋21－x＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2.所以当t＝1即x＝0时，ymax＝f(x)max＝2.(2)由4－x2≥0，得－2≤x≤2，所以设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，则y＝2cosθ－4－4cos2θ＝2cosθ－2sinθ＝22cosθ＋π4，因为θ＋π4∈π4，5π4，所以cosθ＋π4∈－1，22，所以y∈[－22，2]．变式4、.(2015福建)若函数6,2,3log,2,axxfxxx≤(0a且1a)的值域是4,，则实数a的取值范围是．【答案】(1,2]【解析】因为6,2()3log,2axxfxxx≤，所以当2x≤时，()4fx≥；又函数()fx的值域为[4,)，所以13log24aa≥，解得12a≤，所以实数a的取值范围为(1,2]．方法总结：1.求函数的值域方法比较灵活，常用方法有：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求值域；(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，得到值域；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值，得出值域；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，再用相应的方法求值域；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求1、(2014山东)函数1)(log1)(22xxf的定义域为（）A．)210(，B．)2(，C．),2()210(，D．)2[]210(，，【答案】C【解析】2222(log)10log1log1xxx或，解得1202xx或．2、(2012山东)函数的定义域为A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B．3、.(2012课标，文16)设函数f(x)=(x+1)2+sinxx2+1的最大值为M，最小值为m，则M+m=____【答案】2【解析】()fx=22sin11xxx，设()gx=()1fx=22sin1xxx，则()gx是奇函数，∵()fx最大值为M，最小值为m，∴()gx的最大值为M-1，最小值为m－1，∴110Mm，Mm=2.3、（2017浙江）若函数2()fxxaxb在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则Mm21()4ln(1)fxxx[2,0)(0,2](1,0)(0,2][2,2](1,2]210,11,1002.40,xxxxx或A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】函数()fx的对称轴为2ax，①当02a≤，此时(1)1Mfab，(0)mfb，1Mma；②当12a≥，此时(0)Mfb，(1)1mfab，1Mma；③当012a，此时2()24aamfb，(0)Mfb或(1)1Mfab，24aMm或214aMma．综上，Mm的值与a有关，与b无关．选B．4、（2020北京11）函数1()=ln1fxxx的定义域是__________．【答案】(0,)【解析】要使得函数1()ln1fxxx有意义，则100xx，即0x，∴定义域为(0,)．5、(2015山东)已知函数()(0,1)xfxabaa的定义域和值域都是[1,0]，则ab．【答案】32-【解析】当1a时1010abab，无解；当01a时1001abab，解得2b，12a，则13222ab．6、(2013北京)函数的值域为．【答案】,2【解析】当1x时，1122()loglog10fxx，当1x