【新高考复习】考点13 指数与对数的运算（解析版）

考点13指数与对数的运算【命题解读】学生应指数幂的含义及运算法则，实数指数幂的意义；理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；【基础知识回顾】1．根式(1)概念：式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．(2)性质：(na)n＝a(a使na有意义)；当n为奇数时，nan＝a，当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，－a，a＜0.2．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；正数的负分数指数幂的意义是a－mn＝1nam(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a＞0，b＞0，r，s∈Q．3．对数的概念如果ab＝N(a0且a≠1)，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．4．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④malogMn＝nmlogaM．(2)对数的性质①Naalog＝__N__；②logaaN＝__N__(a0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logaN＝logcNlogcb(a，c均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝logad．1、设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是A．B．C．()logogglloaaabcbcD．【答案】B【解析】a，b，c≠1．考察对数2个公式：，对选项A：，显然与第二个公式不符，所以为假．对选项B：，显然与第二个公式一致，所以为真．对选项C：，显然与第一个公式不符，所以为假．对选项D：，同样与第一个公式不符，所以为假．所以选B．2、23(log9)(log4)=A．14B．12C．2D．4【答案】D【解析】23lg9lg42lg32lg2log9log44lg2lg3lg2lg3．3、化简4a23·b－13÷－23a－13b23的结果为()A．－2a3bB．－8abC．－6abD．－6ab【答案】C·logloglogaccbab·loglologgaaabab()loggogollaaabbccabbyxxyccaaaalogloglog,logloglogbababbccaccaloglogloglogloglogabbbabccaccaloglogloglogloglogcbbcaaalogloglog）（cbcbaaaloglog)log（【解析】原式＝－6a23－－13b－13－23＝－6ab－1＝－6ab.4、(多选)已知a＋a－1＝3，在下列各选项中，其中正确的是()A．a2＋a－2＝7B．a3＋a－3＝18C．a12＋a－12＝±5D．aa＋1aa＝25【答案】ABD【解析】在选项A中，因为a＋a－1＝3，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝9－2＝7，故A正确；在选项B中，因为a＋a－1＝3，所以a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝(a＋a－1)·[(a＋a－1)2－3]＝3×6＝18，故B正确；在选项C中，因为a＋a－1＝3，所以(a12＋a－12)2＝a＋a－1＋2＝5，且a＞0，所以a12＋a－12＝5，故C错误；在选项D中，因为a3＋a－3＝18，且a＞0，所以aa＋1aa2＝a3＋a－3＋2＝20，所以aa＋1aa＝25，故D正确．5、lg5lg20的值是____________．【答案】1【解析】lg5lg20lg101．6、计算：log5[412log210－(33)23－7log72]＝________．【答案】0【解析】原式＝log5[2log210－(332)23－2]＝log5(10－3－2)＝log55＝1.7、（2012北京）已知函数()lgfxx，若()1fab，则22()()fafb．【答案】2【解析】由()1fab，得10ab，于是2222()()lglgfafbab2(lglg)2lg()2lg102abab．考向一指数幂的运算例1化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)－278－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋π0(2)a3b23ab2（a14b12）4a－13b13(a0，b0)(3)1253[(0.064)2.5]3338－π0；(4)12112133265ababab【解析】(1)原式＝－32－2＋50012－10（5＋2）（5－2）（5＋2）＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝(a3b2a13b23)12ab2a－13b13＝a32＋16－1＋13b1＋13－2－13＝ab.(3原式＝253112536427110008=152133523343102－1＝52－32－1＝0.(4)原式＝111111111533223262361566abababab＝1a.变式1、．计算下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）原式＝；（Ⅱ）原式＝．变式2、已知1122xx＝3，求22332223xxxx的值．【解析】设12x＝t，则12x＝1t，已知即t＋1t＝3.于是，3322xx＝t3＋1t3＝t＋1t·t2＋1t2－1，而x2＋x－2＝t4＋1t4＝2221()tt－2,将t＋1t＝3，平方得t2＋1t2＋2＝9，于是t2＋1t2＝7.从而，原式＝t2＋1t22－2t＋1t·t2＋1t2－1－3＝72－23×（7－1）－3＝4715.方法总结：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，这时要注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考向二对数的运算例1、（1）化简：lg2＋lg5－lg8lg50－lg40＝________．（2）化简：45.0log32＝________．（3）设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于()A.100B.10C.2log10D.10．【解析】（1）．原式＝lg2×58lg5040＝lg54lg54＝1．（2）．45.0log32＝23·2log0．54＝8·421log2＝8·2－log24＝8·41log22＝8·14＝2．（3）．D由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10．∵1a＋1b＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝10．变式1、化简下列各式：(1)12lg25＋lg2＋lg10＋lg(0.01)－1；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(3)计算(log32＋log92)·(log43＋log83)；（4）2log32－log3329＋log38－3log55；【解析】(1)原式＝lg2512×2×1012×（10－2）－1＝lg5×2×1012×102＝72lg10＝72.(2)原式＝(lg2)2＋(1＋lg5)lg2＋lg52＝(lg2＋lg5＋1)lg2＋2lg5＝(1＋1)lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2.(3)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝lg2lg3＋lg2lg9·lg3lg4＋lg3lg8＝lg2lg3＋lg22lg3·lg32lg2＋lg33lg2＝3lg22lg3·5lg36lg2＝54.（4）2log32－log3329＋log38－3log55＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.变式2、(1)2log32－log3329＋log38－5log35；(2)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．【解析】(1)原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.(2)(方法1)原式＝log253＋log225log24＋log25log28log52＋log54log525＋log58log5125＝3log25＋2log252log22＋log253log22log52＋2log522log55＋3log523log55＝3＋1＋13log25·3log52＝13·log55log52·log52＝13.(方法2)原式＝lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125＝3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝133·lg5lg23·lg2lg5＝13.方法总结：对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质，不能把公式记错，当然也有一定的运算技巧，例如：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并；(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．考向三指数是与对数式的综合例3(1)已知a，b，c均为正数，且3a＝4b＝6c，求证：2a＋1b＝2c；(2)若60a＝3，60b＝5，求12(1)12abb的值．【解析】(1)设3a＝4b＝6c＝k，则k1.由对数定义得a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，则2a＋1b＝2log3k＋1log4k＝2logk3＋logk4＝logk9＋logk4＝logk36.又2c＝2log6k＝2logk6＝logk36，∴2a＋1b＝2c.(2)由a＝log603，b＝log605，得1－b＝1－log605＝log6012，于是1－a－b＝1－log603－log605＝log604，则有1－a－b1－b＝log604log6012＝log124，∴121－a－b2（1－b）＝1212log124＝12log122＝2.变式1、设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于________.由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10.∵1a＋1b＝2，∴logm10＝2，∴m2＝10，m＝10.方法总结：这是一道关于指数式与对数式的混合问题，求解这类问题，以下两点值得关注：1.根据对数的定义，对数式与指数式能够相互转化，其解答过程体现了化归与转化的数学思想，其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简，困难之处在于将指数由“高”降“低”，便于进一步计算，这是指、对数运算经常使用的方法．2.不同底数的对数计算、化简与恒等证明的常用方法是利用换底公式，先将底数统一，再利用同底的对数的运算法则进行计算和化简，求得结果．1、（2013浙江）已知为正实数，则A．B．C．D．【答案】D【解析】取特殊值即可，如取．2、（2020全国Ⅰ文8）设3log42a，则4a（）A．116B．19C．18D．16【答案】B【解析】由3log42a可得3log42a，∴49