【新高考复习】考点20 导数的概念及其运算（原卷版）

考点20导数的概念及其运算【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.【基础知识回顾】1.导数的概念设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．2.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xαf′(x)＝αxα－1续表基本初等函数导函数f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a0)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1xf(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f（x）g（x）＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）g2（x）(g(x)≠0)．5.复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1、下列求导结果正确的是（）A．21'12xxB．cos30'sin30C．1ln2'2xxD．33'2xx2、若()ln2xfxex，则()fx（）A．ln22xxeexxB．ln2xxeexxC．ln2xxeexxD．12xex3、（2020·广东肇庆市·高三月考）已知函数1()elnxfxxx，则1f（）A．0B．1C．eD．24、设M为曲线C：y＝2x2＋3x＋3上的点，且曲线C在点M处切线倾斜角的取值范围为3π4，π，则点M横坐标的取值范围为(D)A.[)－1，＋∞B.－∞，－34C.－1，－34D.－1，－345、下列求导过程正确的选项是()A.1x′＝1x2B．(x)′＝12xC．(xa)′＝axa－1D．(logax)′＝lnxlna′＝1xlna6、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)xyaxe在(0,1)处的切线斜率为-1，则a___________.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知aR，设函数()lnfxaxx的图象在点（1，(1)f）处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.考向一基本函数的导数例1、求下列函数的导数(1)2(34)21yxxx；(2)31yxx=+；(3)lnxyex=；(4)tanyx=；(5)2ln1xyx；(6)2ln(15)xyx=+-．变式1、求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋1x；(3)y＝cosxex.变式2、求下列函数的导数：(1)f(x)＝x2＋xex；(2)f(x)＝x3＋2x－x2lnx－1x2；(3)y＝xsin2x＋π2cos2x＋π2.方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二求导数的切线方程例2、(1)函数ln2()xxfxx的图象在点(1,2)P处的切线方程为__________．(2)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)变式1、(1)已知曲线S：y＝－23x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－1e2，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．变式2、已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考向三导数几何意义的应用例3、已知函数32()3611fxaxxax，2()3612gxxx和直线:9mykx，且(1)0f．(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线()yfx的切线，又是曲线()ygx的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．变式1、已知函数3cos2sin2,,4fxxxxaffx是fx的导函数，则过曲线3yx上一点,Pab的切线方程为__________________．变式2：若直线2yxm是曲线lnyxx的切线，则实数m的值为________．变式3、(2019常州期末）若直线kx－y－k＝0与曲线y＝ex(e是自然对数的底数)相切，则实数k＝________．方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2fxxx的图像在点(1(1))f，处的切线方程为A．21yxB．21yxC．23yxD．21yx2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则A．e1ab，B．a=e，b=1C．1e1ab，D．1ea，1b3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)fxxaxax.若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为A．2yxB．yxC．2yxD．yx4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()exyxx在点(0)0，处的切线方程为____________．5、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线1exyax在点0,1处的切线的斜率为2，则a________．6、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】给出下列三个函数：①1yx；②sinyx；③exy，则直线12yxb(bR)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）．7、【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】已知函数()()xfxaxbe，若曲线yfx（）在点(0,(0))f处的切线方程为310xy，则(1)f的值为_______.8、【2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】如图，曲线()2fxx＝在点()()Mtft，处的切线为l，直线l与x轴和直线1x分别交于点P、Q，点1,0N，则PQNV的面积取值范围为_____．