【新高考复习】考点27 三角恒等变换（1）（解析版）

考点27三角恒等变换（1）【命题解读】能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．.能运用上述公式进行简单的恒等变换【基础知识回顾】知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanα·tanβ，简记作T(α±β)．2.二倍角公式sin2α＝2sinα·cosα；tan2α＝2tanα1－tan2α；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．3.辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2，tanφ＝ba.4.公式的逆用及有关变形tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；sinα±cosα＝2sin(α±π4)；sinα·cosα＝12sin2α；1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2；tan2α＝1－cos2α1＋cos2α(降幂公式)；1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)．1、知cosα＝－45，α∈π，3π2，则sinα＋π4等于()A.－210B.210C.－7210D.7210【答案】C【解析】∵α∈π，3π2，且cosα＝－45，∴sinα＝－35，∴sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.2、已知tanα＋π4＝2，则tanα＝()A.13B.－13C.43D.－43【答案】A【解析】tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝2，解得tanα＝13.3、(多选)已知f(x)＝12(1＋cos2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是()A．f(x)的最小正周期T＝π2B．f(x)是偶函数C．f(x)的最大值为14D．f(x)的最小正周期T＝π【答案】ABC【解析】因为f(x)＝14(1＋cos2x)(1－cos2x)＝14(1－cos22x)＝14sin22x＝18(1－cos4x)，∵f(－x)＝f(x)，∴T＝2π4＝π2，f(x)的最大值为18×2＝14.故D错．4、(多选)下列式子的运算结果为3的是()A．tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°B．2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)C.1＋tan15°1－tan15°D.tanπ61－tan2π6【答案】ABC【解析】对于A，tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°＝tan(25°＋35°)(1－tan25°tan35°)＋3tan25°tan35°＝3－3tan25°tan35°＋3tan25°tan35°＝3；对于B，2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)＝2(sin35°cos25°＋cos35°sin25°)＝2sin60°＝3；对于C，1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan60°＝3；对于D，tanπ61－tan2π6＝12×2tanπ61－tan2π6＝12×tanπ3＝32.综上，式子的运算结果为3的是A、B、C.5、【2020江苏南京三校联考】已知sin(𝑥+𝜋4)=35，则sin2𝑥＝_____________．【答案】﹣725【解析】∵sin(𝑥+𝜋4)=35，∴sin2x=−cos(2x+𝜋2)=2sin2(x+𝜋4)−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725．6、(一题两空)已知0＜α＜π2，且sinα＝35，则tanα＋5π4＝________，sin2α＋sin2αcos2α＋cos2α＝________.【答案】：73323【解析】因为0＜α＜π2，且sinα＝35，所以cosα＝1－sin2α＝45，所以tanα＝sinαcosα＝34，则tanα＋5π4＝tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝7.sin2α＋sin2αcos2α＋cos2α＝sin2α＋2sinαcosα2cos2α－sin2α＝tan2α＋2tanα2－tan2α＝916＋642－916＝3323.考向一利用两角和(差)公式运用例1、已知0＜β＜π2＜α＜π，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，求cos(α＋β)．【解析】∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.变式1、（2020江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系xoy中，以ox轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为1010，55，则sin()______．【答案】22【解析】由三角函数的定义得：510cos,cos105，所以5310sin,sin1025，所以31010sin()sincoscossi525255n10102．故答案为22．变式2、【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】已知是第二象限角，且5sin5，tan2，则tan____.【答案】34【解析】由是第二象限角，且5sin5，可得25cos5，1tan2，由tan2，可得tantan21tantan，代入1tan2，可得3tan4，故答案为：34.变式3、在△ABC中，若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，则cosC＝________.【答案】22【解析】(1)由tanAtanB＝tanA＋tanB＋1，可得tanA＋tanB1－tanAtanB＝－1，即tan(A＋B)＝－1，又因为A＋B∈(0，π)，所以A＋B＝3π4，则C＝π4，cosC＝22.方法总结：考查两角和差的三角函数．公式的结构特征要记牢，在求值、化简时，注意观察角度、函数名、所求角与已知角之间的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．求角问题的关键在于选择恰当的三角函数，选择的标准是，在角的范围内根据函数值，角有唯一解．本题考查逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向二二倍角公式的运用例2、(1)已知πcos()4x＝35，则sin2x＝________．(2)已知3ππ1sin()cos()444xx，则cos4x的值为________．【答案】：(1)－725(2)－1732【解析】：(1)因为sin2x＝cosπ2－2x＝cos2π4－x＝2cos2π4－x－1，所以sin2x＝2×352－1＝1825－1＝－725．(2)由已知得sinππ24xcosx－π4＝－14，∴cos2x－π4＝14．∴sin2x＝cosπ2－2x＝2cos2π4－x－1＝－12．∴cos4x＝1－2sin22x＝1－12＝12．变式1、(1)sin10°1－3tan10°＝________.(2)化简sin235°－12cos10°cos80°＝________.【答案】(1)14(2)－1【解析】(1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°412cos10°－32sin10°＝sin20°4sin30°－10°＝14.(2)sin235°－12cos10°cos80°＝1－cos70°2－12cos10°sin10°＝－12cos70°12sin20°＝－1.变式2、已知cosπ6＋αcosπ3－α＝－14，α∈π3，π2.(1)求sin2α的值；(2)求tanα－1tanα的值．【解析】(1)cosπ6＋αcosπ3－α＝cosπ6＋αsinπ6＋α＝12sin2α＋π3＝－14，即sin2α＋π3＝－12.∵α∈π3，π2，∴2α＋π3∈π，4π3，∴cos2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin2α＋π3－π3＝sin2α＋π3cosπ3－cos2α＋π3sinπ3＝－12×12－－32×32＝12.(2)∵α∈π3，π2，∴2α∈2π3，π，又由(1)知sin2α＝12，∴cos2α＝－32.∴tanα－1tanα＝sinαcosα－cosαsinα＝sin2α－cos2αsinαcosα＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝23.方法总结：本题考查二倍角公式的简单应用．三角函数式的化简要注意以下3点：①看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇到根式一般要升幂”等．本题考查运算求解能力，逻辑思维能力，考查转化与化归思想．考向三公式的综合运用例3、化简：（1＋sinθ＋cosθ）sinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)．【解析】：由θ(0，π)，得0θ2π2，∴cosθ20．因此2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cosθ2．又(1＋sinθ＋cosθ)sinθ2－cosθ2＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2＝2cosθ2sin2θ2－cos2θ2＝－2cosθ2cosθ．故原式＝－2cosθ2cosθ2cosθ2＝－cosθ．变式1、设α是锐角，且cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为____．【答案】17250【解析】∵α是锐角，∴π6＜α＋π6＜2π3，∵cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35.sin2(α＋π6)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，cos2(α＋π6)＝1－2sin2(α＋π6)＝725，sin(2α＋π12)＝sin2（α＋π6）－π4＝sin2(α＋π6)cosπ4－cos2(α＋π6)sinπ4＝2425×22－725×22＝17250.变式2、计算2cos10°－23cos－100°1－sin10°＝________.【答案】22【解析】2cos10°－23cos－100°1－sin10°＝2cos10°＋23sin10°1－sin10°＝412cos10°＋32sin10°1－2sin5°cos5°＝4cos50°cos5°－sin5°＝4cos50°222cos5°－22－sin5°＝4cos50°2cos50°＝22.变式3、已知sinα＋π4＝210，α∈π2，π.求：(1)cosα的值；(2)sin2α－π4的值．【解析】(1)由sinα＋π4＝210，得sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝210，化简得sinα＋cosα＝15，①又sin2α＋cos2α＝1，且α∈π2，π②由①②解得cosα＝－35.(2