【新高考复习】考点28 三角恒等变换（2）（解析版）

考点28三角恒等变换（2）【命题解读】运用两角和与差以及二倍角进行化简求值；能熟练解决变角问题；能熟练的运用公式进行求角【基础知识回顾】知识梳理1.在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．2.要注意对“1”的代换：如1＝sin2α＋cos2α＝tanπ4，还有1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.3.对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±t2－12.4.要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α3是2α3的半角，α2是α4的倍角等．5.用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.则－a2＋b2≤y≤a2＋b2.(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．(3)y＝asinx＋bcsinx＋d(或y＝acosx＋bccosx＋d)可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．6.用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．(2)y＝asinx＋cbsinx(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．1、若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4【答案】A【解析】∵α∈π4，π，∴2α∈π2，2π，∵sin2α＝55，∴2α∈π2，π.∴α∈π4，π2且cos2α＝－255.又∵sin(β－α)＝1010，β∈π，3π2，∴β－α∈π2，5π4，cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝－31010×－255－1010×55＝22，又∵α＋β∈5π4，2π，∴α＋β＝7π4.2、已知α，β∈π3，5π6，若sinα＋π6＝45，cosβ－5π6＝513，则sin(α－β)的值为____________．A．1665B.3365C.5665D．6365【答案】：A【解析】：由题意可得α＋π6∈π2，π，β－5π6∈－π2，0，所以cosα＋π6＝－35，sin(β－5π6)＝－1213，所以sin(α－β)＝－sin[(α＋π6)－(β－5π6)]＝－45×513－－35×－1213＝1665．3、已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝________.【答案】π4【解析】因为α，β均为锐角，所以－π2α－βπ2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sinα＝55，所以cosα＝255，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝55×31010－255×－1010＝22.所以β＝π4.4、(一题两空)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是210.则cos(α－β)＝________，2α－β＝________.【答案】－1010－π4【解析】由题意，OA＝OM＝1，因为S△OAM＝55和α为锐角，所以sinα＝255，cosα＝55.又点B的纵坐标是210，所以sinβ＝210，cosβ＝－7210，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×－7210＋255×210＝－1010.因为cos2α＝2cos2α－1＝2×552－1＝－35，sin2α＝2sinαcosα＝2×255×55＝45，所以2α∈π2，π.因为β∈π2，π，所以2α－β∈－π2，π2.因为sin(2α－β)＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝－22，所以2α－β＝－π4.5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】若πcosα2cosα4，则πtanα8______．【答案】213【解析】πcosα2cosα4，ππππcosα2cosα8888，ππππππππcosαcossinαsin2cosαcos2sinαsin88888888，化为：ππππcosαcos3sinαsin8888，ππ3tanαtan188，2π2tanπ8tan1π41tan8，解得πtan218．π121tanα83321（），故答案为213考向一变角的运用例1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知5cos45，0,2，则sin24的值为______．【答案】210【解析】0,2，3,444，又5cos45，2sin545，2554sin22sincos2444555，23cos22cos1445，333sin2sin2sin2coscos2sin4444444=42322525210．变式1、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知为锐角，且1cos63，则sin__________．【答案】2616【解析】因为为锐角，1cos63，则222sin1cos663，所以sinsin66sin.coscos.sin6666，2231132322616.故答案为：2616.变式2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈0，π3，已知向量a＝(6sinα，2)，b＝1，cosα－62，且a⊥b.(1)求tanα＋π6的值；(2)求cos2α＋7π12的值．【解析】(1)因为a＝(6sina，2)，b＝1，cosα－62，且a⊥b.所以6sina＋2cosα＝3，所以sinα＋π6＝64.2分因为α∈0，π3，所以α＋π6∈π6，π2，(4分)所以cosα＋π6＝104，故sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝64所以tanα＋π6＝155.(6分)(2)由(1)得cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝2×1042－1＝14.(8分)因为α∈0，π3，所以2α＋π3∈π3，π，所以sin2α＋π3＝154.(10分)所以cos2α＋7π12＝cos2α＋π3cosπ4－sin2a＋π3sinπ4(12分)＝2－308.(14分)方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。考向二求角例2、(2019苏州期初调查）已知cosα＝437，α∈0，π2.(1)求sinπ4＋α的值；(2)若cos(α＋β)＝1114，β∈0，π2，求β的值．【解析】(1)由cosα＝437，α∈0，π2，得sinα＝1－cos2α＝1－4372＝17.(2分)所以sinπ4＋α＝sinπ4cosα＋cosπ4sinα(4分)＝22×437＋22×17＝46＋214.(6分)(2)因为α，β∈0，π2，所以α＋β∈(0，π)．又cos(α＋β)＝1114，则sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝1－11142＝5314.(8分)所以sinβ＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα(10分)＝5314×437－1114×17＝12.(12分)因为β∈0，π2，所以β＝π6.(14分)变式1、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255．求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．【解析】：由条件得cosα＝210，cosβ＝255．∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55．因此tanα＝sinαcosα＝7，tanβ＝sinβcosβ＝12．(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝7＋121－7×12＝－3．(2)∵tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×121－122＝43，∴tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanα·tan2β＝7＋431－7×43＝－1．∵α，β为锐角，∴0α＋2β3π2，∴α＋2β＝3π4．变式2、（2020江苏扬州高邮上学期开学考）在平面直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点(1,2)P．(1)求cos2sin2的值；(2)若10sin()10，且0,2，求角的值．【解析】(1)角的终边上有一点P∴225sin55，15cos55，∴2554sin22sincos2555，2253cos22cos12155，∴431sin2cos2555．(2)由02，，02，得,22，∵10sin()10，∴2210310cos()1sin()11010，则sinsin()sincos()cossin()2531051025105102，因π02，，则π4．方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。考向三公式的综合运用例3、【江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研】已知函数2()13cos2sin()4fxxx，（1）求()fx的最小正周期和单调递减区间。（2）若方程()0fxm在区间[,]4上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。【解析】（1）213cos22sin4fxxx3cos2cos23cos2sin22xxxx2sin23x∴22T由3222