【新高考复习】考向35 空间向量及其运算和空间位置关系（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微

考向35空间向量及其运算和空间位置关系1．（2021·全国高考真题）（多选题）在正三棱柱111ABCABC中，11ABAA，点P满足1BPBCBB，其中0,1，0,1，则（）A．当1时，1ABP△的周长为定值B．当1时，三棱锥1PABC的体积为定值C．当12时，有且仅有一个点P，使得1APBPD．当12时，有且仅有一个点P，使得1AB平面1ABP【答案】BD【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数．【详解】易知，点P在矩形11BCCB内部（含边界）．对于A，当1时，11=BPBCBBBCCC，即此时P线段1CC，1ABP△周长不是定值，故A错误；对于B，当1时，1111=BPBCBBBBBC，故此时P点轨迹为线段11BC，而11//BCBC，11//BC平面1ABC，则有P到平面1ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．对于C，当12时，112BPBCBB，取BC，11BC中点分别为Q，H，则BPBQQH，所以P点轨迹为线段QH，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，13,0,12A，0,0P,，10,,02B，则13,0,12AP，10,,2BP，110APBP，所以0或1．故,HQ均满足，故C错误；对于D，当12时，112BPBCBB，取1BB，1CC中点为,MN．BPBMMN，所以P点轨迹为线段MN．设010,,2Py，因为30,02A，，所以031,,22APy，131,,122AB，所以00311104222yy，此时P与N重合，故D正确．故选：BD．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝π2，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模|a|a21＋a22＋a23夹角余弦值cos〈a，b〉＝a·b|a||b|(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b235.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个．(2)平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量．(3)位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔n·m＝0l⊥αn∥m⇔n＝λm平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔n＝λmα⊥βn⊥m⇔n·m＝0【知识拓展】．（2021·江苏高三）已知数组,1,1ax，2,2,by，0ab，则2xy（）A．1B．—1C．2D．22．（2022·全国高三专题练习（理））三棱锥PABC中，PAB△和ABC都是等边三角形，2AB，1PC，D为棱AB上一点，则PDPC的值为（）A．12B．1C．32D．与D点位置有关系3．（2021·余干县第三中学（理））正方体1111ABCDABCD中，2AB，下列说法正确的有________.（1）异面直线1AD与1AB所成的角为π3；（2）E为11AB的中点，平面ADE截正方体所得截面面积为25；（3）三棱锥1BACB的外接球半径为3；（4）H在1BD上，113BHBD，正方体8个顶点中与点H的距离为263的点有4个.4．（2021·河南郑州·高三（文））如图所示，正方体1111ABCDABCD的棱长为4,MN是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，的PMPN取值围是_______________________．1．（2020·江苏高三）已知三维数组2,1,0a，1,,7bk，且0ab，则实数k（）A．-2B．-9C．27D．22．（2022·全国高三专题练习（理））在棱长为2的正方体1111ABCDABCD中，点E平面11AABB，点F是线段1AA的中点，若1DECF，则EBC面积的最小值为（）A．55B．1C．255D．23．（2021·上海高三）如图，PA面ABCD，ABCD为矩形，连接AC､BD､PB､PC､PD，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（）A．PC与BDB．PB与DAC．PD与ABD．PA与CD4．（2018·浙江高考模拟）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若ABa，ADb，1AAc，则下列向量中与BM相等的向量是（）A．1122abcB．1122abcC．1122abcD．1122abc5．（2020·天津市第四中学高三）已知O为坐标原点，向量2,1,1a，点3,1,4,2,2,2AB.若点E在直线AB上，且OEa，则点E的坐标为（）A．65,145,25B．65,145,25C．65,145,25D．65,145,256．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三）（多选题）设所有空间向量的集合为3123123,,,,RxxxxxxR，若非空集合3MR满足：①,xyM，xyM，②aR，xM，axM，则称M为3R的一个向量次空间，已知A，B均为向量次空间，则下列说法错误的是（）A．ABB．AB为向量次空间C．若AB，则3BRD．若0B，则xA，总yB且0y，使得0xy7．（2021·全国高三）（多选题）在正三棱柱111ABCABC中，1AB，12AA，1BC与1BC交于点F，点E是线段11AB上的动点，则下列结论正确的是（）A．1111222AFABACAAB．存在点E，使得AFBE⊥C．三棱锥BAEF的体积为312D．直线AF与平面11BCCB所成角的余弦值为2178．（2021·山东济宁市·高三）（多选题）如图，直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为平行四边形，1112ABAAAD，60BAD，点P是半圆弧11AD上的动点（不包括端点），点Q是半圆弧BC上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（）A．四面体PBCQ的体积是定值B．1ADAP的取值范围是0,4C．若1CQ与平面ABCD所成的角为，则1tan2D．若三棱锥PBCQ的外接球表面积为S，则4,13S9．（2021·全国）（多选题）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，如图所示，点EF、分别为线段BCAD、的中点，则（）A．AC与EF所成得角为45B．EFBCC．过EF且与BD平行得平面截四面体ABCD所得截面的面积为2D．四面体ABCD的外接球的表面积为810．（2021·北京海淀·）已知边长为1的正方体1111ABCDABCD，M为BC中点，N为平面1DCCD上的动点，若1MNAC，则三棱锥1NAAD的体积最大值为_______．11．（2020·全国高三专题练习）已知长方体1111ABCDABCD，1ABBC，12AA，在1AB上取一点M，在1BC上取一点N，使得直线//MN平面11AACC，则线段MN的最小值为________.12．（2021·全国高三专题练习（理））在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PBBDPD42，43PA.（1）证明：PC平面ABCD；（2）如图，取BC的中点为E，在线段DE上取一点F使得23DFFE，求二面角FPAC的大小.1．（2012·陕西高考真题（理））如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABCABC,且12CACCCB，则直线1BC与直线1AB夹角的余弦值为（）A．55B．53C．255D．352．（2018·全国高考真题（理））在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为A．15B．56C．55D．223．（2008·福建高考真题（理））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．63B．265C．155D．1054．（2014·广东高考真题（理））已知向量1,0,1a，则下列向量中与a成60的是A．1,1,0B．1,1,0C．0,1,1D．1,0,15．（2011·上海高考真题（理））设12345,,,,AAAAA是空间中给定的5个不同的点，则使123450MAMAMAMAMA成立的点M的个数为（）A．0B．1C．5D．106．（2012·四川高考真题（文））如图，在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成角的大小是____________．7．（2015·四川高考真题（理））如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.8．（2016·浙江高考真题（文））如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△ACD'，直