【新高考复习】考点08 函数的奇偶性与周期性（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新

考向08函数的奇偶性与周期性1．（2021·全国高考真题（理））设函数fx的定义域为R，1fx为奇函数，2fx为偶函数，当1,2x时，2()fxaxb．若036ff，则92f（）A．94B．32C．74D．52【答案】D【分析】通过1fx是奇函数和2fx是偶函数条件，可以确定出函数解析式222fxx，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】因为1fx是奇函数，所以11fxfx①；因为2fx是偶函数，所以22fxfx②．令1x，由①得：024ffab，由②得：31ffab，因为036ff，所以462ababa，令0x，由①得：11102fffb，所以222fxx．思路一：从定义入手．9551222222ffff1335112222ffff511322=2222ffff所以935222ff．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数fx的周期4T．所以91352222fff．故选：D．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．2．（2021·全国高考真题（理））设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A．11fxB．11fxC．11fxD．11fx【答案】B【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xfxxx，对于A，2112fxx不是奇函数；对于B，211fxx是奇函数；对于C，21122fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，2112fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.1.判断函数奇偶性的常用方法(1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f(－x)＝±f(x)或其等价形式f(－x)±f(x)＝0是否成立．(2)图象法：f(x)的图像关于原点对称，f(x)为奇函数；f(x)的图像关于y轴对称，f(x)为偶函数。(3)性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2.与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解．4．求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．5．周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性．6．函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性。(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解。(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解。（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称。1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，非零常数T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【知识拓展】1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0).(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a0).(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.5.两个奇偶函数四则运算的性质○1两个奇函数的和仍为奇函数；○2两个偶函数的和仍为偶函数；○3两个奇函数的积是偶函数；○4两个偶函数的积是偶函数；○5一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。1．（2021·北京高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数，又满足值域为R的是（）A．1yxB．1yxxC．1yxxD．sinyx2．（2021·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三三模（理））已知yfx为奇函数且对任意xR，2fxfx，若当0,1x时，2logafxx，则2021f（）A．1B．0C．1D．23．（2021·安徽高三其他模拟（文））偶函数()fx满足11()()22fxfx，且在7,42x时，2()log1fxx，则1(2)f（）A．2log72B．1C．2log32D．2log714．（2021·沈阳市·辽宁实验中学高三二模）已知函数fx的定义域为R，且满足2fxyfxyfxfy，且1222f，00f，则2021f（）．A．2021B．1C．0D．11．（2021·天水市第一中学高三其他模拟（文））关于函数1cosfxxx有下列四个结论：①fx在定义域上是偶函数；②fx在0,2上是减函数；③fx在0,上的最小值是2；④fx在0,2上有两个零点．其中结论正确的编号是（）．A．①②B．②④C．②③D．③④2．（2021·辽宁高三其他模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1xxfxx，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））若定义在R上的奇函数()fx在0,上单调递增，且20f，则不等式10xfx的解集为（）A．,13,B．,11,3C．1,01,3D．1,03,4．（2021·珠海市第二中学高三其他模拟）设21()log(1)fxxa是奇函数，若函数()gx图象与函数()fx图象关于直线yx对称，则()gx的值域为（）A．11(,)(,)22B．11(,)22C．(,2)(2,)D．(2,2)5．（2021·重庆一中高三其他模拟）已知2fxaxbx是定义在1,2aa上的偶函数，那么nyfab的最大值是（）A．1B．13C．33D．4276．（2021·山东高三其他模拟）已知函数fx是定义在R上的偶函数，满足2fxfx，当0,1x时，πcos2fxx，则函数yfxx的零点个数是（）A．2B．3C．4D．57．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））设()fx是定义在R上的偶函数，且2fxfx，当1,0x时，1()12xfx，若在区间1,6内关于x的方程()log20afxx（0a且1a）有且只有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．11,75B．5,7C．1,5D．5,8．（2021·湖南高三其他模拟）（多选题）已知定义域为R的函数fx满足1fx是奇函数，1fx为偶函数，当11x时，2fxx，则（）A．函数fx不是偶函数B．函数fx的最小正周期为4C．函数fx在2,2上有3个零点D．54ff9．（2019·吉林高三其他模拟（文））已知奇函数f(x)满足∀x∈R，f（1+x）＝f（1﹣x）恒成立，若f（1）＝2，则f（2019）＝_____．10．（2021·全国高三其他模拟）若定义在R上的非零函数fx，对任意实数x，存在常数，使得fxfx恒成立，则称yfx是一个“f。函数”，试写出一个“lf。函数”：__________．11．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知函数fx的定义域为R，且满足11fxfx，()()11fxfx-+=，则fx的最小正周期为___________，fx的一个解析式可以为___________.12．（2021·上海高三二模）设函数2log0fxxx的反函数为1fx．（1）解方程：220fxfx；（2）设ygx是定义在R上且以2为周期的奇函数．当01x时，1gxfx，试求2log10g的值．1．（2021·全国高考真题（文））设fx是定义域为R的奇函数，且1fxfx.若1133f，则53f（）A．53B．13C．13D．532．（2020·全国高考真题（理））设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)（）A．是偶函数，且在1(,)2单调递增B．是奇函数，且在11(,)22单调递减C．是偶函数，且在1(,)2单调递增D．是奇函数，且在1(,)2单调递减3．（2019·北京高考真题（文））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（2019·全国高考真题（文））设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e1x，则当x0时，f(x)=A．e1xB．e1xC．e1xD．e1x5．（2018·全国高考真题（文））已知()fx是定义域为(,)的奇函数,满足(1)(1)fxfx.若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffffA．50B．0C．2D．506．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=1sinsin