【新高考复习】考点03 不等式性质与一元二次不等式（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题

考向03不等式性质与一元二次不等式（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文档版）设0.2log0.3a，2log0.3b，则A．0ababB．0ababC．0ababD．0abab【答案】B【详解】分析：求出0.2211log0.3,0.3logab，得到11ab的范围，进而可得结果．详解：.0.30.3log0.2,2ablog0.2211log0.3,0.3logab0.3110.4logab1101ab,即01abab又a0,b0ab0即abab0故选B.点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．(3)解一元二次不等式的步骤：第一步，将二次项系数化为正数；第二步，解相应的一元二次方程；第三步，根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步，写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．(4)对含参的不等式，应对参数进行分类讨论一、不等式的基本性质1、不等式的基本性质（1）不等式的基本性质1如果,abbc，那么ac，此性质称为不等式的传递性（2）不等式的基本性质2如果ab，那么acbc，此性质称为不等式的加法性质（3）不等式的基本性质3如果,0abc，那么acbc，如果,0abc，那么acbc.此性质称为不等式的乘法性质2、其他性质（4）abcdacbd，（同向相加性）；（5）00abcdacbd，（同向相乘性，特别注意符号限制，需满足正号）；（6）*0nnabnNab，（可乘方性，特别注意符号限制，需满足正号）；（7）*0nnabnNab，（可开方性，特别注意符号限制，需满足正号）。（8）1100abab（可倒性，特别注意符号性质，需满足正号）3．一元二次不等式一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．4．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}xx≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}5.(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解集不等式解集aba＝bab(x－a)·(x－b)0{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}(x－a)·(x－b)0{x|axb}{x|bxa}【知识拓展】不等式的证明方法：1.比较法（1）求差比较法要证ab，只需证0ab；要证ab，只需证0ab．其步骤是：作差变形判断（与零比较）．（2）求商比较法要证ab，而0b，只需证1ab；要证ab，而0b，只需证1ab．其步骤是：作商（除式分母大于零）变形判断（与1比较）2.综合法利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性质推导出所要求证的不等式，这种由因导果的证明方法叫做综合法．3.分析法肯定待证的不等式成立，逆推到与已知条件或基本不等式相符合，这一系列的不等式中后者总是前者的充分条件．这种由果索因的证明方法叫做分析法，又称逆证法．4．一元二次不等式(1)解不等式ax2＋bx＋c0(0)时不要忘记a＝0时的情形．(2)不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．①不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0或a0，Δ0.②不等式ax2＋bx＋c0对任意实数x恒成立⇔a＝b＝0，c0或a0，Δ0.1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知ab，cd，则下列关系式正确的是（）A．ac+bdad+bcB．ac+bdad+bcC．acbdD．acbd2．（2021·贵溪市实验中学高三其他模拟）如果,ab那么下列说法正确的是（）A．acbcB．22acbcC．acbcD．0ba3．（2019年天津市高考数学试卷（文科））设xR，使不等式2320xx成立的x的取值范围为__________.4．（2021·河北石家庄市·高三二模）若命题“0xR，20020xxm”为真命题，则实数m的取值范围为__________．1．（2021·安徽马鞍山市·高三二模（理））已知0a，0b，下列说法错误的是（）A．若01ab，则abbbaaB．若23abaebe，则abC．1baab恒成立D．0,1a，使得11aaaeea2．（2021·广东珠海市·高三二模）已知,abR，满足0ab，0ab，ab，则（）A．11abB．0baabC．22abD．ab3．（2021·北京八十中高三其他模拟）已知非零实数a，b满足ab，则下列不等式中一定成立的是（）A．lnlnabB．11abC．22abD．33ab4．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a0，b0，且a+b=1，则（）A．2212abB．122abC．22loglog2abD．2ab5．（2021·江苏南京市·高三一模）若0ab，则下列不等式恒成立的是（）A．11abaB．11abC．2211abbaD．2211abab6．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）已知两个不为零的实数x，y满足xy，则下列说法中正确的有（）A．31xyB．2xyyC．xxyyD．11xy7．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三其他模拟）下列命题为真命题的是（）A．若0ab，则22acbcB．若0ab，则22aabbC．若0ab，且0c，则22ccabD．若ab，则11ab8．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版））能够说明“设,,abc是任意实数,若abc,则abc”是假命题的一组整数,,abc的值依次为__________.9．（2021·浙江高三二模）已知a，bR，若对任意0x，不等式22210axxbx≤恒成立，则ab的最小值为___________．10．（2021·四川攀枝花市·高三一模（文））定义在R上的奇函数fx满足1fxfx，当10,2x时，2fxxx，则当1,2x时，不等式3016fx的解为___________.11．（2021·新疆乌鲁木齐市·高三二模（文））不等式231122xx的解集是___________.12．（2020年江苏省高考数学试卷）设xR，解不等式2|1|||4xx．1．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））设x、y、z为正数，且235xyz，则A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z2．（广西玉林市陆川中学2018届高三期中考试数学（理）试题）若1ab，01c，则A．ccabB．ccabbaC．loglogbaacbcD．loglogabcc3．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷参考版））已知,xyR，且0xy，则A．110xyB．sinsin0xyC．11()()022xyD．lnln0xy4．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷精编版））设，，则“”是“”的A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷精编版））已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若log1ab，则A．(1)(1)0abB．(1)()0aabC．D．(1)()0bba6．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷精编版））已知实数a，b，c.A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2＜1001．【答案】A【分析】利用作差法可判断A、B，利用特值法可判断C、D.【详解】解：对于A、B：ab，cd，ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)0，故A正确，B错误；对于C：当b=0，c0时，ac0，bd=0，故C错误；对于D：当ab0，cd0时，acbd，故D错误；故选：A.2．【答案】D【分析】根据不等式的性质判断，错误的可举反例．【详解】因为ab，不等式两边同时减去a得0ba，D正确，若0c=，则AB错误，若0c，C错误．故选：D．3．【答案】2(1,)3【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】2320xx，即(1)(32)0xx，即213x，故x的取值范围是2(1,)3．【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．4．【答案】,1【分析】根据特称命题为真命题，结合判别式可得结果.【详解】由题意可知，不等式220xxm有解，∴440,1mm，∴实数m的取值范围为,1，故答案为：,11．【答案】D【分析】A选项可以构造幂型函数来判断；B、D选项借用求导的手段求出函数单调性来判断大小关系；C选项利用基本不等式可判断出大小关系.【详解】解：对于A：01ab，所以11ab，因为ba，所以11abba，所以abbbaa，故A正确；对于B：设xfxxe，则1xfxxe，所以0,x上单调递增，因为23abaebe，所以312abaebe，所以abaebe，所以ab，故B正确；对于C：已知0a，0b，所以2babaabab，当且仅当ab时，等号成立，当01a时，121aya成立，故C正确；对于D：令xyxe，则1xxxyexexe，因为0,1x，所以xyxe单调递增，则不存在11aaaeea，故D错误.故选：D.【点睛】实数间的大小比较，常见解题思路如下(1)构造幂型函数、指数型函数、对数型函数，三角函数等、利用函数性质，结合函数图象进行实数间的大小比较；(2)利用基本不等式、不等式性质进行实数间的大小比较；(3)利用导数判断函数单调性进行实数间的大小比较；(4)利用函数单调性、对称性、奇偶性、周期性进行实数间的大小比较.2．【分析】由给定条件分析出a0，b0及a与b间的关系，针对各选项逐一讨论即可得解.【详解】因0ab，ab，则a0，b0，110,0ab，A不正确；0,0baab，则0baab，B不正确；又0ab，即0ab，则22()a