【新高考复习】考点11 对数与对数函数（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地

考向11对数与对数函数1．（2020·海南高考真题）已知函数2()lg(45)fxxx在(,)a上单调递增，则a的取值范围是（）A．(2,)B．[2,)C．(5,)D．[5,)【答案】D【分析】首先求出fx的定义域，然后求出2()lg(45)fxxx的单调递增区间即可.【详解】由2450xx得5x或1x所以fx的定义域为,1(5,)因为245yxx在(5,)上单调递增所以2()lg(45)fxxx在(5,)上单调递增所以5a故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.2．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etIKt，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【答案】C【分析】将tt代入函数0.23531tKIte结合0.95ItK求得t即可得解.【详解】0.23531tKIte，所以0.23530.951tKItKe，则0.235319te，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.4.识别对数函数图象时，要注意底数a以1为分界：当a＞1时，是增函数；当0＜a＜1时，是减函数．注意对数函数图象恒过定点(1,0)，且以y轴为渐近线．5.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．6.比较对数值的大小（1）若对数值同底数，利用对数函数的单调性比较（2）若对数值同真数，利用图象法或转化为同底数进行比较（3）若底数、真数均不同，引入中间量进行比较7.解决对数函数的综合应用有以下三个步骤：(1)求出函数的定义域；(2)判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式(包含单独一个字母)时，若涉及其单调性，就必须对底数进行分类讨论；(3)判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性1.对数的概念如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a0，且a≠1).(2)对数的运算法则：如果a0且a≠1，M0，N0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a10a1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论(1)logab＝1logba；(2)logambn＝nmlogab.其中a0，且a≠1，b0，且b≠1，m，n∈R.2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，函数图象只在第一、四象限.1．（2021·新沂市第一中学高三其他模拟）函数ln(1)11xyxx的定义域是（）A．[1,0)(0,1)B．[1,0)(0,1]C．(1,0)(0,1)D．(1,0)(0,1]2．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））已知2log3,37ba＝＝，则21log56＝（）A．3abaabB．3abaabC．3ababD．3baab3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知4log3a，5log3b，4log5c，则（）A．bacB．abcC．acbD．cab4．（2021·广东茂名市·高三二模）（多选题）已知函数12log1,0,(1),0,xxfxfxx若函数gxfxxa有且只有两个不同的零点，则实数a的取值可以是（）A．-1B．0C．1D．21．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知函数fx为R上的奇函数，当0x时，fxx；若0.250.3a，0.25log0.3b，0.3log2.5c，则（）A．fbfafcB．fcfbfaC．fcfafbD．fafbfc2．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）已知函数1yfx的图像关于1x对称，满足2fxfx，且fx在1,0上递减，若125af，12bfn，3 log18cf，则a，b，c的大小关系为（）A．acbB．cbaC．abcD．bac3．（2021·新安县第一高级中学高三其他模拟（文））被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log1SCWN，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s：W为信道带宽，单位为Hz：SN为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN，2000HzW时，最大数据传输速率记为1C；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A．2B．99C．101D．99994．（2021·济南市·山东师范大学附中高三其他模拟）若函数2,232ln1,2axxfxaxx在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．0,1B．0,2C．30,2D．31,25．（2021·广东佛山市·高三其他模拟）（多选题）函数()ln1ln1xxfxee，下列说法正确的是（）A．()fx的定义域为(0,)B．()fx在定义域内单调递増C．不等式(1)(2)fmfm的解集为(1,)D．函数()fx的图象关于直线yx对称6．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三月考（文））已知函数2211log13fxxx，则不等式lg3fx的解集为___________.8．（2021·全国高三其他模拟）已知不为1的正实数,mn满足1133loglog,mn则下列不等式中一定成立的是_____.（将所有正确答案的序号都填在横线上）①1111mn；②mnee；③ln0nm；④31mn；⑤11mn．9．（2019·吉林高三其他模拟（理））已知等比数列na满足212345log5aaaaa，等差数列nb满足33ba，则12345bbbbb___________.10．（2021·山东高三其他模拟）已知数列na满足22log1nnan．给出定义：使数列na的前k项和为正整数的k*kN叫做“好数”，则在1,2021内的所有“好数”的和为______．11．（2021·辽宁铁岭市·高三二模）设fx定义域为R，已知fx在1,上单调递减，1fx是奇函数，则使得不等式22log3log0fxfx成立的x取值范围为___________.12．（2021·全国高三其他模拟）已知函数log1afxx，函数ygx的图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰好是函数fx的图象．（1）写出gx的解析式：（2）若1a，0,1x时，总有fxgxm成立，求实数m的取值范围．1．（2020·全国高考真题（文））设3log2a，5log3b，23c，则（）A．acbB．abcC．bcaD．cab2．（2008·山东高考真题（文））已知函数()log(21)(01)xafxbaa，的图象如图所示，则ab，满足的关系是（）A．101abB．101baC．101baD．1101ab3．（2013·辽宁高考真题（文））已知函数21ln1931,.lg2lg2fxxxff则A．1B．0C．1D．24．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lgEmmE，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10.1105．（2020·海南高考真题）（多选题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1()0(1,2,,),1niiiPXipinp，定义X的信息熵21()logniiiHXpp.（）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着1p的增大而增大C．若1(1,2,,)ipinn，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm，则H(X)≤H(Y)6．（2020·北京高考真题）函数1()ln1fxxx的定义域是____________．7．（2019·上海高考真题）函数20fxxx的反函数为___________8．（2014·重庆高考真题（理））函数22()loglog(2)fxxx的最小值为__________．9．（2014·广东高考真题（理））若等比数列的各项均为正数，且，则1220lnlnlnaaa.10．（2017·上海高考真题）已知数列{}na和{}nb，其中2nan，*nN，{}nb的项是互不相等的正整数，若对于任意*nN，{}nb的第na项等于{}na的第nb项，则149161234lg()lg()bbbbbbbb________1．【答案】C【分析】根据题意列不等式组，化简得出结论.【详解】由题意得10,10,0,xxx解得10x或01x.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1).故选：C.2．【答案】A【分析】运用对数运算法则和换底公式进行求解.【详解】由37b，可得3log7b，所以33213log72log56log3733333log7log2log3log7131bab3abaab.故选：A3．【答案】A【分析】先由对数的性质可