【新高考复习】专题25 圆锥曲线压轴小题必刷100题(解析版)

专题25圆锥曲线压轴小题必刷100题一、单选题1．已知圆C是以点2,23M和点6,23N为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点2,0A，点1,1B，则2PAPB的最大值为（）A．26B．42C．852D．2【答案】A【分析】由题设可知圆C：22(4)16xy，在坐标系中找到(4,0)D，应用三角线相似将2PA转化到||PD，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设，知：(4,0)C且22||(2323)(62)8MN，即圆C的半径为4，∴圆C：22(4)16xy，如上图，坐标系中(4,0)D则24ODACCPOC，∴12ACPCCPDC，即△APC△PCD，故12PAPD，∴2||||PAPBPDPB，在△PBD中||||||PDPBBD，∴要使||||PDPB最大，,,PBD共线且最大值为||BD的长度.∴2||(14)126BD.故选：A2．已知点1F，2F分别为椭圆2222:10xyCabab的左、右焦点，点M在直线:lxa上运动，若12FMF的最大值为60，则椭圆C的离心率是（）A．13B．12C．32D．33【答案】C【分析】设直线1MF，2MF的倾斜角分别为，，,Mat0t，且12FMF，利用差角正切公式、基本不等式求12max(tan)FMF关于椭圆参数的表达式，结合已知求椭圆参数的数量关系，进而求离心率.【详解】由题意知，1,0Fc，2,0Fc，直线l为xa，设直线1MF，2MF的倾斜角分别为，，由椭圆的对称性，不妨设M为第二象限的点，即,Mat，0t，则tantca，tantca.12FMF，122222222tantan2222tantan1tantan212ttctcccccacaFMFtbtbbbbttcatt，当且仅当2btt，即tb时取等号，又12tanFMF得最大值为tan603cb，3cb，即2223cca，整理得32ca，故椭圆C的的离心率是32.故选：C.3．过x轴上点,0Pa的直线与抛物线28yx交于A，B两点，若2211APBP为定值，则实数a的值为（）．A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】设出直线AB的方程与抛物线方程联立，根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】设直线AB的方程为xmya，代入28yx，得2880ymya，设11,Axy，22,Bxy，则128yym，128yya．2222222111111APxaymyymy，同理，22221BPmy，∴21212222222221212211111111yyyymyymyyAPBP2222222224()64284416441114ammamamaamam，∵2211APBP为定值是与m无关的常数，∴144aa，故选：D．4．已知椭圆C：22221(0)xyabab的两个顶点在直线220xy上，1F，2F分别是椭圆的左､右焦点，点P是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点P作椭圆C的切线l与直线2x交于点M，设直线1PF，2MF的斜率分别为1k，2k，则12kk的值为（）A．-13B．13C．-12D．-14【答案】A【分析】根据题意求出2a，1b，进而写出椭圆的方程，设点P的切线方程为ykxm，与椭圆联立，由0得到2221mk，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出12,kk，进而化简整理即可求出结果.【详解】∵椭圆C的两顶点在直线220xy上，∴2a，1b，∴椭圆C的方程为2212xy，∴11,0F，21,0F，设点P的切线方程为ykxm，00,Pxy，联立2212ykxmxy，消去y得222214220kxkmxm，∵直线l与椭圆C相切，∴0，即222(4)421220kmkm，∴2221mk，02221kmxk，∴202022121kmmykxmkmkk，∴点222,2121kmmPkk，又2221mk，∴21,kPmm，∴1101221mkmkmk，设点12,My，又M在切线ykxm上，∴2,2Mmk，∴2202213mkkmk，∴12121233kmkkmk，故选：A.5．已知F是椭圆2221(1)xyaa的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记MAN，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（）A．当01e时，2B．当202e时，2C．当1222e时，23D．当212e时，34【答案】A【分析】设M在x轴上方，N在x轴下方，设直线AM的倾斜角为，直线AN的倾斜角为，联立直线AM的方程与椭圆方程可求M的坐标，同理可求N的坐标，利用,,MFN三点共线可得12211ekkae，利用离心率的范围可得121kk，从而可判断为锐角.【详解】不失一般性，设M在x轴上方，N在x轴下方，设直线AM的斜率为1k，倾斜角为，直线AN的斜率为2k，倾斜角为，则210,0kk，,2，0,2，且0,.又2121tantantantan1+tantan1kkkk.又直线AM的方程为1ykxa，由12222ykxaxaya可得22232422111(1)20akxakxaka，故42212211Makaxaak，所以3212211Makaxak，故122121Makyak，同理3222221Nakaxak，故222221Nakyak，因为,,MFN共线，故21222221323221222221221111akakakakakaakaccakak，整理得到21212210aackkkkcakk即122cakkaac，若01e，122211caekkaacae，因为1211,011eee，21a，故121kk，所以2121tan01kkkk，故2.故选：A.6．已知过抛物线24yx的焦点F的直线与抛物线交于点A、B，若A、B两点在准线上的射影分别为M、N，线段MN的中点为C，则下列叙述不正确的是（）A．ACBCB．四边形AMCF的面积等于ACMFC．AFBFAFBFD．直线AC与抛物线相切【答案】B【分析】对于选项AB，利用向量知识研究AC与BC､AC与MF的位置关系即可；对于选项C，可利用抛物线的定义确定AF、BF的长度，然后判断等号是否成立；对于选项D，求出直线AC的斜率，并设抛物线在点A处的切线方程为2114yyykx，与抛物线的方程联立，由0求出k，进而可判断出D选项的正误.【详解】如图，由题意可得1,0F，抛物线的准线方程为1x．设211,4yAy、222,4yBy，设直线AB的方程为1xty，联立214xtyyx，可得2440yty，利用根与系数的关系得124yy，因为线段MN的中点为C，所以121,2yyC，所以21121,42yyyCA，22211,42yyyCB，所以，2222121212121111210444162yyyyyyyyCACB，所以，ACBC，A选项正确；对于B选项，因为11,My，所以12,MFy，所以2112112220222yyyyyyCAMF，所以ACMF，所以四边形AMCF的面积等于12ACBF，B选项错误；对于C选项，根据抛物线的定义知2114yAFAM，2214yBFBN，所以221224yyAFBF，22222222121212121112441644yyyyyyyyAFBF，所以，AFBFAFBF，C选项正确；对于D选项，直线AC的斜率为12111212221111422224414ACyyyyyyykyyyy，抛物线24yx在点A处的切线方程为2114yyykx，联立211244yyykxyx，消去x可得2211440kyyyky，由题意可得211016440kkyky，可得12ky，即12ky，则ACkk.所以，直线AC与抛物线24yx相切，D选项正确.故选：B.7．如图，已知双曲线222210xybaab的左、右焦点分别为1F，2F，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若12AFF△的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（）A．53B．54C．43D．32【答案】A【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)Fc，设双曲线的一条渐近线方程为byxa，可得直线2AF的方程为()byxca，联立双曲线的方程可得点A的坐标，设1||AFm，2||AFn，运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于a，c的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)Fc，设双曲线的一条渐近线方程为byxa，可得直线2AF的方程为()byxca，与双曲线22221(0)xybaab联立，可得22(2caAc，22())2bacac，设1||AFm，2||AFn，由三角形的等面积法可得2211()(2)22422bbcamnccac，化简可得2442cmnaca，①由双曲线的定义可得2mna，②在三角形12AFF中22()sin2bcanac，(为直线2AF的倾斜角），由tanba，22sincos1，可得22sinbbcab，可得222cana，③由①②③化简可得223250caca，即为(35)()0caca，可得35ca，则53cea．故选：A．8．在棱长为2的正四面体ABCD中，点P为ABC所在平面内一动点，且满足433PAPB，则PD的最大值为（）A．3B．2103C．393D．2【答案】B【分析】由题意可知，点P在ABC所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A、B，长轴长为433，然后以线段AB的中点O为坐标原点，直线AB所在直线为x轴，以CO所在直线为y轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD的最大值.【详解】如图所示，在平面ABC内，4323PAPB，所以点P在平面ABC内的轨迹为椭圆，取AB的中点为点O，连接CO，以直线AB为x轴，直线OC为y建立如下图所示的空间直角坐标系Oxyz，则椭圆的半焦距1c，长半轴233a，该椭圆的短半轴为2233bac，所以，椭圆方程为2233104xyz.点D在底面的投影设为点E，则点E为ABC的