【新高考复习】专题26 圆锥曲线巧设直线必刷100题(解析版)

专题26圆锥曲线巧设直线必刷100题方法提示:在圆锥曲线联立与设线的问题当中,设直线的方法比较多.常见有几下几种类型:①00()yykxx当题干中直接或者隐含直线过定点00(,)xy时,可设点斜式00()yykxx局限性:局限性:不能表示垂直于x轴的直线,需要单独讨论.②+ykxb当题干中含有过y轴上一定点(0,)b时,或者在解题步骤中需要12xx或12+xx,需要消掉y,保留x时,设+ykxb会简化解题步骤和计算量.局限性:不能表示垂直于x轴的直线,需要单独讨论.③+xkym,当题干中含有过x轴上一定点(,0)m时,或者在解题步骤中需要12yy或12+yy,需要消掉x,保留y时,设+xkym会简化解题步骤和计算量.局限性:不能表示平行于x轴的直线,需要单独讨论.一、单选题1．已知直线:1lyx与抛物线2:20Cypxp相交于A、B两点，若AB的中点为N，且抛物线C上存在点M，使得23OAOBOM（O为坐标原点），则p的值为（）A．4B．2C．1D．12【答案】B【分析】联立直线与抛物线可求出中点N的坐标，由题干条件可得出3OMON，从而求出M点坐标，又点M在抛物线上，代入抛物线方程可求出p值.【详解】解：设1122,,,AxyBxy，联立212yxypx得：2220ypyp，解得：121222,2xxpyyp，因为N为AB的中点，所以1,Npp，又因为2OAOBON，所以有3OMON，即33,3Mpp，点M在抛物线上，代入可得29233ppp，解得：2p.故选：B.2．已知弦AB经过抛物线220ypxp的焦点F，设11,Axy，22,Bxy，则下列说法中错误的是（）A．当AB与x轴垂直时，AB最小B．112AFBFpC．以弦AB为直径的圆与直线2px相离D．212yyp【答案】C【分析】根据抛物线焦点弦的性质依次判断各个选项即可得到结果.【详解】AB与x轴垂直时，AB为抛物线的通径，是最短的焦点弦，即AB最小，A正确；设AB方程为2pxty，由222pxtyypx得：2220yptyp，122yypt，212yyp，D正确；2222221212212122422222yyyyyyptpxxptpppp，2221212244yypxxp，12212121211112224xxpppppAFBFxxxxxx2222222212221ptptppptppt，B正确；ABQ中点到2px的距离为121122xxpAB，以AB为直径的圆与准线2px相切，C错误.故选：C.3．过点0,2的直线与抛物线28yx交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则AB（）A．217B．17C．215D．15【答案】C【分析】设直线方程为2ykx，联立方程组根据线段AB中点的横坐标为2，求得2k，结合根与系数的关系和弦长公式，即可求解.【详解】设直线方程为2ykx，11,Axy，22,Bxy，联立方程组228ykxyx，整理得224(2)40kxkx，因为直线与抛物线交于,AB两点，所以2216(2)160kk，解得1k，因为线段AB中点的横坐标为2，可得1222(2)22xxkk，所以2k或1k（舍），所以241640xx，可得12124,1xxxx，则2221212121124ABkxxxxxx2544215．故选：C.4．若直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是（）A．15(3，15)3B．15(0,)3C．15(,0)3D．15(,1)3【答案】D【分析】根据双曲线的方程求得渐近线方程，把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和1k联立求得k的范围．【详解】由2226ykxxy消去y，整理得22(1)4100kxkx，22(1)4100kxkx的两根为x1，x2，∵直线y＝kx+2与双曲线x2﹣y2＝6的右支交于不同的两点，∴1221222401100110kxxkxxkk，∴k＜﹣1，∴221151344010kkkk.故选：D．5．已知过抛物线C：y2＝4x的焦点F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】D【分析】设直线AB的方程为x＝3y+1，联立2314xyyx，得到AB的中点坐标，然后过P作PH垂直准线于点H，再利用抛物线的定义，由,,QPH三点共线时求得最小值求解.【详解】如图所示：由题意，得F（1，0），故直线AB的方程为x＝3y+1，联立2314xyyx，得24340yy，设A（x1，y1），B（x2，y2），则1243yy，x1+x2＝3（y1+y2）+2＝14，所以Q（7，23），过P作PH垂直准线于点H，由抛物线的定义得：|PF|+|PQ|＝|PH|+|PQ|≥|QH|＝7+1＝8，当,,QPH三点共线时，等号成立，所以|PF|+|PQ|的最小值为8，故选：D.6．已知抛物线y2＝4x，直线l与抛物线交于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为（）A．2B．3C．33D．1【答案】D【分析】设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及直线斜率公式即可求解.【详解】设直线l的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线方程24xmynyx，化简可得，y2﹣4my﹣4n＝0，由韦达定理可得，y1+y2＝4m，∵1222yy，∴4m＝4，即m＝1，∴直线l的方程为y＝x﹣n，∴k＝1．故选：D7．已知直线l与抛物线24yx交于,AB两点（点A在第一象限，点B在第四象限），与x轴交于点(,0)Mm，若线段AB的中点的横坐标为3，则m的取值范围是（）A．(0,3]B．(,3]C．(0,6]D．(1,6]【答案】A【分析】设1122(,),(,)AxyBxy，直线方程为(0)xtymm，然后抛物线标准方程与直线方程联立消x，得一个关于y一元二次方程，又由线段AB的中点的横坐标为3，得126xx，转化为232mt，由此即可确定m的取值范围.【详解】解：设1122(,),(,)AxyBxy，直线方程为(0)xtymm，联立24xtymyx，消去x，得2440ytym，所以124yyt，所以21212()242xxtyymtm，因为A、B中点横坐标为3，所以126xx，故2323mt，又0m，所以m的取值范围为(0,3].故选：A.8．平面直角坐标系xOy中，已知直线l与抛物线2yx交于A、B两点，OA、OB的斜率分别为1k和2k，满足1245kk，F是抛物线的焦点，则ABF的面积的最小值为（）A．45B．25C．5D．52【答案】D【分析】设直线:lxmyn.设1122,,,AxyBxy，用“设而不求法”表示出1245kk得到54n，从而得到ABF的面积1212Syy，由22121212455yyyyyym即可求出最小值.【详解】因为直线l与抛物线2yx交于A、B两点，所以可设直线:lxmyn.设1122,,,AxyBxy，则有2yxxmyn，消去x得：20ymyn，所以1212yymyyn.由1245kk得：121245yyxx，即22212145yyyy，所以1254yyn，即54n.即直线l与x轴交于5,04P.又抛物线2yx的焦点1,04F，所以51144PF.所以ABF的面积12121122APFBPFSSSPFyyyy.因为1212yymyyn，所以22121212455yyyyyym，当m=0时，即直线5:4lx的斜率不存在时，取等号，此时ABF的面积的最小值：155=22S.故选：D9．已知抛物线220ypxp，A和B分别为抛物线上的两个动点，若2AOB（O为坐标原点），弦AB恒过定点4,0，则抛物线方程为（）A．22yxB．24yxC．28yxD．216yx【答案】B【分析】设直线AB的方程为4xmy，设11,Axy、22,Bxy，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可得0OAOB，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出p的值，即可得出抛物线的标准方程.【详解】若直线AB与x轴重合，此时直线AB与抛物线220ypxp只有一个交点，不合乎题意.设点11,Axy、22,Bxy，设直线AB的方程为4xmy，联立242xmyypx，消去x可得2280ympyp，224320mpp，所以，128yyp，因为2AOB，则212121212216804yyOAOBxxyyyypp，解得2p.因此，抛物线的方程为24yx.故选：B.10．已知点F为抛物线2:4Cyx的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若3ABFB，则AB（）A．9B．42C．22D．92【答案】D【分析】设直线l的方程为1xy，联立直线l与抛物线方程化简可得2440yy，设11,Axy，22,Bxy，由此可得124yy，结合3ABFB可求A,B的坐标，再由焦点弦公式求|AB|.【详解】因为焦点1,0F，设直线l的方程为1xy，代入抛物线方程，得2440yy．设11,Axy，22,Bxy，由韦达定理得124yy．因为3ABFB，所以2AFFB，所以122yy．解得122y，22y或122y，22y，所以12x，212x，所以12ABxxp192222．故选D．11．已知抛物线2:20Cypxp的焦点为F，经过点F的直线与抛物线C交于A､B两点，若AB的中点为3,12M，则线段AB的长为（）A．72B．4C．5D．4或5【答案】D【分析】设1122,,,AxyBxy，由题意得到12123,2yxyx，设直线AB方程为2pxny，联立方程组得到212yyp，根据,AB均为抛物线上的点，得到21122222ypxypx，两式相加得出关于p的方程，求得p的值，结合焦点弦的性质，即可求解.【详解】设1122,,,AxyBxy，因为AB中点坐标为3,12M，可得123xx，122yy，因为直线AB过焦点,02pF，可设直线AB方程为2pxny，联立直线AB与抛物线方程2,22pxnyypx，整理得2220ynpyp，则212yyp，因为,AB均为抛物线上的点，可得21122222ypxypx，两式相加得22121226yypxxp，即22221212122624yyyyyypp，解得1p或2p，因为123ABxxpp，可得4AB或5AB.故选：D.12．已知点F为抛物线2:4Cyx的焦点，过点F的直l线交抛物线C于,AB两点，且16(1),3AFtFBtAB，则t