【新高考复习】专题36 导数放缩证明不等式必刷100题(原卷版)

专题36导数放缩证明不等式必刷100题1．已知函数ln()xfxxx.（1）求()fx的最大值；（2）若()fxkx恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：*(1)231ln!12nnnnNnn.2．已知函数(1)()ln1kxfxxx．（1）求函数()fx的极值；（2）（i）当1x时，()0fx恒成立，求正整数k的最大值；（ii）证明：3(2)1(112)(123)[1(1)]nnnne．3．已知函数233212fxxx．（1）求fx的极大值点和极小值点；（2）若函数223ln3gxx，当0,1x时，证明：gxfx．4．已知函数ln()xfxxx．（1）求()fx的最大值；（2）若()fxkx恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：222231ln112nnnnN5．已知函数2()ln,()(2)(0)fxxxgxaxaa．（1）当0a时，证明：()()fxgx；（2）当0a时，若函数()()()hxfxgx有两个不同的零点，求实数a的取值范围．6．已知函数2ln5afxxxx．（1）当1a时，求fx的单调区间．（2）4a，证明：0fx．7．设函数exfx，lngxx.（1）若1fxax，求a的值（2）证明：1fxxgxxx.8．已知函数2123()ln332fxxxxx.（1）判断fx的单调性；（2）证明：31233ln12341nnnn.9．已知函数lnxfxx.（1）求fx在点1,1f处的切线方程；（2）已知函数10gxxafxa在区间1,上不存在极值点，求a的取值范围；（3）证明：222213112ln123nnn，*Nn.10．设函数1()ln()fxxaxaxR．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）当(0,1)x时，证明：211lnxxxexx．11．已知函数2()exfxx．（1）求函数()fx的极值；（2）求证：ln3()4xxxfx．12．已知函数ln1fxxx，0,x，singxxaxaR．（1）求fx的最大值；（2）若对10,x，总存在2π(0,)2x，使得12fxgx成立，求实数a的取值范围；（3）证明不等式12esinsinsine1nnnnnnn（其中e是自然对数的底数）．13．已知函数()lnfxx，()()gxxmmR.（1）若()()fxgx恒成立，求实数m的取值范围；（2）求证：当0x时，(2)1ln1xeexxx.14．已知函数1eln,eexfxxxgxx.（1）求函数fx在,10ttt上的最小值；（2）证明：当0x时，xfxgx.15．已知函数2lnxfxxeaxxaR.（1）若1a，求yfx在1,1f处的切线方程；（2）若0x是函数fx的极值点，且00fx，求证：30044fxxx.16．已知函数()1lnfxxax（1）若()0fx，求a的值；（2）证明：对任意的正整数n，2111111e333n.17．已知函数f（x）=lnx-x+1.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥1时，ax2+3x-lnx0.18．已知函数(1)()ln1axfxxx，()aR（1）试讨论()fx的单调性；（2）求证：48124(5)ln2ln3ln4ln(1)nnnn.19．已知函数()1lnfxxax.（1）若0fx，求a的值；（2）证明：2222ln2ln3ln21(,2)234(1)nnnnNnnn.20．已知函数ln1fxxx，0,x，3gxxax.（1）求fx的最大值；（2）若对10,x，总存在21,2x使得12fxgx成立，求a的取值范围；（3）证明不等式121nnnnennne.21．已知1sinxfxex．（1）求证：当0x时，0fx；（2）求证：i22111lnii144nnn，2n，n+N．22．已知函数()1afxlnxx．（1）若()fx在区间1,上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求证：*111ln(N23nnn且2)n…．23．已知函数()(1)1xfxlnxax，其中(0a，1]．（1）讨论函数()fx在区间[0，1]上的单调性；（2）求证：2020.42020.520212021()()20202020e．24．已知函数()lnfxaxaxaR，（1）当1a时，求()fx在(1,(1))f处的切线方程；（2）若()0fx，求实数a取值的集合；（3）当0a时，对任意1212,(0,),xxxx，令21312()()xxxfxfx，证明：132xxx.25．已知函数ln111fxxkx（kR）.（1）求函数fx的单调区间；（2）若0fx在定义域内恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：2ln2ln3ln4ln34514nnnn（2n，*nN）.26．已知函数2lnfxaxxxaR.（1）讨论函数fx的单调性；（2）①若1a，证明：21fxx在()0,+?上恒成立；②证明：对任意正整数n2n，都有222211111111234en成立（其中e为自然对数的底数）.27．已知函数lnyfxxx和21ygxmxmR.（1）当1m时，求方程fxgx的实根；（2）若对任意的1,x，函数ygx的图象总在函数yfx的图象的上方，求实数m的取值范围；（3）求证：2224424ln2141142141nnn，nN.28．已知函数21()sin2fxxxx．（1）求函数()fx的单调区间及最值；（2）证明：211sin2(1)nknkn，*nN．29．已知函数1lnfxxax（1）若()0fx对于0x恒成立，求a的值；（2）求证：2111111e222n.30．已知函数2e2ln2xfxxxxx．（1）求函数fx图象在1x处的切线方程．（2）证明：0fx．31．已知函数2lnfxxmxx（8m，且0m）.（1）讨论函数fx的单调性；（2）证明：当1x时，3ln1lnxxxx.32．已知函数2()exfxax（aR）（其中2.71828e为自然对数的底数）.（1）当2a时，判断函数()fx的单调性；（2）若1a，证明()cosfxx对于任意的[0,)x恒成立.33．设,abR，已知函数1()1axfxebx在点(0,(0))f处的切线方程为32yx．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当(0,6)x时，3()6xfxx．34．（1）已知函数1()2lnfxxaxx（aR）．①试讨论函数()fx的单调性；②若1x，2x为函数()fx的两个极值点，证明：121224fxfxaxx．（2）证明：11nnkkene（e为自然对数的底数，*kN，*nN）35．已知函数()sinfxxax，()ln(0)gxmxm．（1）讨论()fx在区间0,2上的零点个数；（2）()()()hxfxgx，当12a时，存在1x，212(0,)xxx有12hxhx成立，证明：12214xxm．36．已知函数()2ln(1)1fxxax.（1）判断函数()fx的单调性；（2）设2sin1()sin1(22)exgxxxxx，求证：当1a时，()()fxgx.37．已知函数lnxfxxeaxx.（1）当0a时，求fx的最小值；（2）若对任意0x恒有不等式1fx成立，证明：22ln2sinxxexxx.38．已知函数l()nfxaxx(0)a，'fx为()fx的导数．（1）若函数'1()1gxfxx有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）当1a时，求证：()sin1xfxex．39．已知函数lnfxxa．（1）当1a时，求曲线yfx在0x处的切线方程．（2）证明：当01a时，对一切0,x，都有32xxfxe成立．40．已知函数2()1xfxexax．（1）当0a时，求fx的单调区间；（2）当0x时，若不等式0fx恒成立，求实数a的取值范围；（3）若0x，证明：21ln1xexx．41．已知函数1ln1fxaxx，aR.（1）当2a时，求函数fx的单调区间；（2）证明：当0a，10xfxe恒成立.42．已知函数eln1ln1xaxfxa（0a）.（1）当1a时，证明：0fx；（2）若fx有且仅有两个零点1x，2x，求实数a的取值范围，并证明120xx.43．已知函数121102xfxfefxx（1）求fx的解析式及单调区间；（2）若212fxxaxb，求1ab的最大值；（3）证明：1coslnxexxxx．44．已知函数ln1afxxaRx.（1）当1a时，求函数fx的最小值；（2）讨论函数fx的单调性；（3）当*nN时，证明：2222341ln2lnlnln2324nnnn.45．已知()2()qgxpxfxx，其中()lnfxx，且2pgeqee.（1）求p与q的关系；（2）若()gx在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（3）证明：①1fxx„；②2222ln2ln3ln21(,2)234(1)nnnnNnnn….46．已知函数221()2ln()2fxxaxaxaR.（1）若函数()fx在区间[1,)上单调递增，求实数a的取值范围；（2）证明：211lnninin（2n…，且*nN）.47．已知函数lnfxaxxa.（1）当2a时，求曲线()yfx在点11,22Pf处的切线方程；（2）讨论fx的单调性；（3）当01a时，证明：1xafxxexa.48．已知函数2ln21fxxaxax，其中aR.（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有两个零点，求a的取值范围：（3）证明：当1a时，sinfxx恒成立.49．已知函数ln1fxxax．（1）若0fx恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：当n+N时，11111eln1123nnnn成立．50．已知函数1xfxxe