【新高考复习】专题39 导数与三角函数结合必刷100题(解析版)

专题39导数与三角函数结合必刷100题一、单选题1-25题1．以下使得函数()cos22sinfxxx单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,22【答案】D【分析】先求导，再对x分三种情况分析导数得解.【详解】解：由题意得，2sin22cos2cos(12sin)fxxxxx，当6x或56时，0fx，函数()fx在区间0,2，,2ππ上都有极值点，故不单调；当3,2x时，0fx，不合题意；当3,22x时，0fx，函数()fx单调递增，符合题意.故选：D.2．设函数24(),()sin,()fxxgxxhxaxx，若对于任意的(0,),()()()xgxhxfx都成立，则实数a的取值范围为（）A．1,3B．1,42C．1,8D．1,172【答案】A【分析】分别证明()()hxfx，()()hxfx，对于,()0x，先证明()()hxfx，变形为24axx，利用导数求得新函数的最小值，从而求得参数取值范围.再证明()()gxhx，由函数sinyx及yax的图像易知，若使sinxax对于,()0x恒成立，只需yax处在sinyx图像上方，a的最小值在0x处，两个图像相切处取得，求得参数取值范围.【详解】对于,()0x，先证明()()hxfx，24axxx，即24axx，令24()mxxx，则38()1mxx，易知()mx单增，且(2)0m，则(0,2)x时，()0mx，函数单减；(2,)x时，()0mx，函数单增；函数在2x处取最小值，此时(2)3am；再证明()()gxhx，即sinxax，由函数sinyx及yax的图像易知，若使sinxax对于,()0x恒成立，只需yax处在sinyx图像上方，a的最小值在0x处，两个图像相切处取得，函数sinyx的导数为cosyx，0x时，1y，即1a，综上，1,3a，故选：A3．已知偶函数()fx的定义域为,22，其导函数为fx，当02x时，有cos()sin0fxxfxx成立，则关于x的不等式()2cos3fxfx的解集为（）A．,,2332B．,33C．,23D．,32【答案】A【分析】先构造函数cosfxgxx，进而根据题意判断出函数的奇偶性和单调性，进而解出不等式.【详解】因为偶函数()fx的定义域为,22，设cosfxgxx，则coscosfxfxgxxx，即()gx也是偶函数.当02x时，根据题意2cossin0cosfxxfxxgxx，则()gx在0,2上是减函数，而函数为偶函数，则()gx在,02上是增函数.于是，3()2cos3cos3cos3ffxfxfxgxgx，所以3,,233222xxx.故选：A.4．已知函数2()sincosfxxxxx，则不等式1lnln21fxffx的解集为()A．,eB．0,eC．10,1,eeD．1ee,【答案】D【分析】求出函数的导数，求出单调增区间，再判断函数的奇偶性，则不等式1lnln21fxffx，转化为ln1fxf即为ln1fxf，则|ln|1x，运用对数函数的单调性，即可得到解集．【详解】解：函数2()sincosfxxxxx的导数为：()sincossin2(2cos)fxxxxxxxx，则0x时，()0fx，()fx在0,上单调递增，且2()sincos()()()fxxxxxfx，则为偶函数，即有()(||)fxfx，则不等式1lnln21fxffx，即为ln1fxf，即为ln1fxf，则|ln|1x，即1ln1x，解得，1eex，即原不等式的解集1ee,．故选：D．5．若函数5()(2cos)sin2fxaxxx（其中a为参数）在R上单调递增，则a的取值范围是（）A．10,2B．11,22C．11,,22D．1,02【答案】B【分析】先求解函数的导数，再根据函数的单调性建立不等式，将问题转化为不等式恒成立问题，进而求解参数的值.【详解】根据题意，22259cos2sin2coscos4cos22fxaxxxaxxfx在R上单调递增0fx在R上恒成立令cosxt，1,1t，则fx可写为294,1,12gtattt根据题意gt在1,1上的最小值非负1010gg解得1122a，所以选项B正确故选：B.6．关于函数cosxfxaex，,x，下列说法错误的是（）A．当1a时，函数fx在,上单调递减B．当1a时，函数fx在,上恰有两个零点C．若函数fx在,上恰有一个极值，则0aD．对任意0a，0fx恒成立【答案】D【分析】分别在0x和0πx得到0fx，由此可知A正确；在平面直角坐标系中作出xye与cosyx图象，由图象可确定B正确；将问题转化为sinxxae在,上恰有一个解，令sinxxgxe，利用导数可确定gx单调性并得到其图象，数形结合可确定0a，C正确；令1a，由B中结论可确定D错误.【详解】对于A，cosxfxex，则sinxfxxe，当0x时，sin0x，0xe，0fx，fx单调递减；当0πx时，sin1x，e1x，0fx，fx单调递减；综上所述：fx在,上单调递减，A正确；对于B，cosxfxex，令0fx，得：cosxex；在平面直角坐标系中，作出xye与cosyx的图象如下图所示，由图象可知：当x时，xye与cosyx有且仅有两个不同交点，函数fx在,上恰有两个零点，B正确；对于C，由cosxfxaex得：sinxfxaex，若fx在,上恰有一个极值，则fx在,上恰有一个变号零点，即sinxxae在,上恰有一个解，令sinxxgxxe，则2sincossin4xxxxxgxee；当3,,44x时，0gx；当3,44x时，0gx；gx在3,4，,4上单调递增，在443,上单调递减，又0g，00g，0g，可得gx大致图象如下，若sinxxae在,上恰有一个解，则0a，此时函数fx在,上恰有一个极值，C正确；对于D，当1a时，由B选项可知，0,0x，使得00cosxex，当0,0xx时，cosxex，即cos0xfxex，D错误.故选：D.7．已知函数yfx对于任意的,22x满足cossin0fxxfxx（其中fx是函数fx的导函数），则下列不等式成立的是（）A．024ffB．234ffC．234ffD．023ff【答案】C【分析】可构造函数cosfxgxx，由已知可证gx在,22x单增，再分别代值检验选项合理性即可【详解】设cosfxgxx，则2cossin0cosfxxfgxxxx，则gx在,22x单增，对A，04cos0cos4ff，化简得024ff，故A错；对B，34coscos34ff，化简得234ff，故B错；对C，43coscos43ff，化简得234ff，故C正确；对D，03cos0cos3ff，化简得023ff，故D错，故选：C8．已知函数()yfx对任意的(0,)x满足cos()sinfxxfxx（其中fx为函数()fx的导函数），则下列不等式成立的是（）A．363ffB．363ffC．363ffD．363ff【答案】D【分析】令()()cosgxfxx，求出函数的导数，根据函数的单调性判断即可．【详解】解：令()()cosgxfxx，(0,)x故()()cos()sin0gxfxxfxx，故()gx在(0,)递增，所以()()36gg，可得13()()2336ff，即363ff，所以D正确；故选：D．9．已知函数()(cos)xfxaxxe在(0,)上恰有两个极值点，则a的取值范围是（）A．(0,1)B．(,)eC．(0,)eD．(,)e【答案】D【分析】首先求出导函数()(1sin)xfxaxe，根据题意得()fx在(0,)有2个变号零点，讨论0a或0a，将问题转化为11sinxxae两个根，令1sin()xxgxe，利用导数判断函数的单调性，再求出端点值，进而可得10ea即可求解.【详解】()(1sin)xfxaxe，根据题意得()fx在(0,)有2个变号零点，当0a时，显然不合题意，当0a时，方程(1sin)0xaxe等价于11sinxxae，令1sin()xxgxe，sincos1()xxxgxe2sin()14xxe，令()0gx，因为(0,)x，解得2x，可得()gx在(0,]2单调递减，在[,2）单调递增，又因为()02g，(0)1g，()1ge，要使1ya与()gx的图像有2个不同的交点，需要满足10ea，解得ae，故选：D．10．若函数12sin2sin2fxxxax在0,2上恰有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（）A．2,3B．22,3C．22,4D．2,6【答案】B【分析】先求导，由题意可知0fx在0,2上有两个不同的解，令cos01txt，即二次函数221gttat在0,1上有两个不同的解，数形结合列出式子即可求解【详解】由于1()2