【新高考复习】第3讲　基本不等式及其应用

第3讲基本不等式及其应用一、选择题1.下列不等式一定成立的是()A.lgx2＋14lgx(x0)B.sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，k∈Z)C.x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1＜1(x∈R)解析当x＞0时，x2＋14≥2·x·12＝x，所以lgx2＋14≥lgx(x＞0)，故选项A不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；当x＝0时，有1x2＋1＝1，故选项D不正确.答案C2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A.[0，2]B.[－2，0]C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析22x＋y≤2x＋2y＝1，所以2x＋y≤14，即2x＋y≤2－2，所以x＋y≤－2.答案D3.(2016·合肥二模)若a，b都是正数，则1＋ba·1＋4ab的最小值为()A.7B.8C.9D.10解析∵a，b都是正数，∴1＋ba1＋4ab＝5＋ba＋4ab≥5＋2ba·4ab＝9，当且仅当b＝2a0时取等号.故选C.答案C4.若a0，b0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A.1ab≤14B.1a＋1b≤1C.ab≥2D.a2＋b2≥8解析4＝a＋b≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab≤2，ab≤4，1ab≥14，选项A，C不成立；1a＋1b＝a＋bab＝4ab≥1，选项B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8，选项D成立.答案D5.(2015·湖南卷)若实数a，b满足1a＋2b＝ab，则ab的最小值为()A.2B.2C.22D.4解析依题意知a＞0，b＞0，则1a＋2b≥22ab＝22ab，当且仅当1a＝2b，即b＝2a时，“＝”成立.因为1a＋2b＝ab，所以ab≥22ab，即ab≥22，所以ab的最小值为22，故选C.答案C6.若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案C7.(2017·安庆二模)已知a0，b0，a＋b＝1a＋1b，则1a＋2b的最小值为()A.4B.22C.8D.16解析由a0，b0，a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，得ab＝1，则1a＋2b≥21a·2b＝22.当且仅当1a＝2b，即a＝22，b＝2时等号成立.故选B.答案B8.(2017·福州六校联考)已知函数f(x)＝x＋ax＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是()A.12B.32C.1D.2解析由题意可得a0，①当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≥2a＋2，当且仅当x＝a时取等号；②当x0时，f(x)＝x＋ax＋2≤－2a＋2，当且仅当x＝－a时取等号.所以2－2a＝0，2a＋2＝4，解得a＝1.答案C二、填空题9.正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________.解析∵a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，解得ab≥3，即ab≥9.答案[9，＋∞)10.(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n0，m＋n＝－1，则1m＋1n的最大值为________.解析∵m·n0，m＋n＝－1，∴m0，n0，∴1m＋1n＝－(m＋n)1m＋1n＝－2＋nm＋mn≤－2－2nm·mn＝－4，当且仅当m＝n＝－12时，1m＋1n取得最大值－4.答案－411.若对于任意x＞0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________.解析xx2＋3x＋1＝13＋x＋1x，因为x＞0，所以x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)，则13＋x＋1x≤13＋2＝15，即xx2＋3x＋1的最大值为15，故a≥15.答案15，＋∞12.(2017·成都诊断)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.解析设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x＋20x万元，∵5x＋20x≥25x×20x＝20，当且仅当5x＝20x，即x＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.答案22013.已知a0，b0，若不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，则m的最大值为()A.9B.12C.18D.24解析因为a0，b0，不等式3a＋1b≥ma＋3b恒成立，所以m≤（a＋3b）3a＋1bmin，因为(a＋3b)·3a＋1b＝6＋9ba＋ab≥6＋29ba·ab＝12，当且仅当a＝3b时取等号，所以m的最大值为12.答案B14.(2017·石家庄调研)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则Sn＋8an的最小值是()A.92B.72C.22＋12D.22－12解析易知an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝n（n＋1）2.∴Sn＋8an＝n（n＋1）2＋8n＝12n＋16n＋1≥122n·16n＋1＝92，当且仅当n＝4时取等号，因此Sn＋8an的最小值为92.答案A15.(2017·辽宁五校协作体联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝8上，则ab的最大值为________.解析由题意知a0，b0，且(a＋1)2＋(b＋1)2＝8，化简得a2＋b2＋2(a＋b)＝6，则6≥2ab＋4ab(当且仅当a＝b时取等号)，令t＝ab(t0)，则t2＋2t－3≤0，解得0t≤1，则0ab≤1，所以ab的最大值为1.答案116.正数a，b满足1a＋9b＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________.解析因为a＞0，b＞0，1a＋9b＝1，所以a＋b＝(a＋b)1a＋9b＝10＋ba＋9ab≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立.又x2－4x－2＝(x－2)2－6，所以x2－4x－2的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.答案[6，＋∞)