【新高考复习】第7讲　抛物线

第7讲抛物线一、选择题1.(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B.1C.32D.2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1，2).代入曲线y＝kx(k0)得k＝2，故选D.答案D2.点M(5，3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A.y＝12x2B.y＝12x2或y＝－36x2C.y＝－36x2D.y＝112x2或y＝－136x2解析分两类a0，a0可得y＝112x2，y＝－136x2.答案D3.(2017·张掖诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝()A.9B.8C.7D.6解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.答案B4.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP→＝4FQ→，则|QF|等于()A.72B.52C.3D.2解析∵FP→＝4FQ→，∴|FP→|＝4|FQ→|，∴|PQ||PF|＝34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴|PQ||PF|＝|QQ′||AF|＝34，∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.答案C5.(2017·衡水金卷)已知抛物线y2＝4x，过点P(4，0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y21＋y22的最小值为()A.12B.24C.16D.32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由x＝4，y2＝4x，得y1＝－4，y2＝4，∴y21＋y22＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由y2＝4x，y＝k（x－4），得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－16，∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32＞32，综上可知，y21＋y22≥32.∴y21＋y22的最小值为32.故选D.答案D二、填空题6.(2016·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线x29－y23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________.解析由图可知弦长|AB|＝23，三角形的高为3，∴面积为S＝12×23×3＝33.答案337.(2017·四川四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为________.解析设A(x1，y1)，B(x2，y2).易得抛物线的焦点是F(1，0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立y2＝4x，y＝x－1，消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案88.(2017·江西九校联考)抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析y2＝2px的准线为x＝－p2.由于△ABF为等边三角形.因此不妨设A－p2，p3，B－p2，－p3，又点A，B在双曲线y2－x2＝1上，从而p23－p24＝1，所以p＝23.答案23三、解答题9.(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围.(1)解∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0).即抛物线的焦点为(2，0)，∴p2＝2，∴p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)①证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).则y21＝2px1，y22＝2px2，则x1＝y212p，x2＝y222p，∴kPQ＝y1－y2y212p－y222p＝2py1＋y2，又∵P，Q关于l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，∴y1＋y22＝－p，又∵PQ的中点一定在l上，∴x1＋x22＝y1＋y22＋2＝2－p.∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p).②解∵PQ的中点为(2－p，－p)，∴y1＋y2＝－2p，x1＋x2＝y21＋y222p＝4－2p，即y1＋y2＝－2p，y21＋y22＝8p－4p2，∴y1＋y2＝－2p，y1y2＝4p2－4p，即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0.即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜43，故所求p的范围为0，43.10.已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24；(2)1|AF|＋1|BF|为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为x＝my＋p2，代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋p2)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以y21y22＝4p2x1x2，所以x1x2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.(2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2＝x1＋x2＋px1x2＋p2（x1＋x2）＋p24.因为x1x2＝p24，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得1|AF|＋1|BF|＝|AB|p24＋p2（|AB|－p）＋p24＝2p(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝12(|AC|＋|BD|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.11.(2017·合肥模拟)已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2x1x2的值一定等于()A.－4B.4C.p2D.－p2解析①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝p2，则x1x2＝p24；②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－p2)，联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋p2k24＝0，则x1x2＝p24.又y21＝2px1，y22＝2px2，∴y21y22＝4p2x1x2＝p4，又∵y1y2＜0，∴y1y2＝－p2.故y1y2x1x2＝－4.答案A12.(2016·四川卷)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D.1解析如图，由题可知Fp2，0，设P点坐标为y202p，y0(y0＞0)，则OM→＝OF→＋FM→＝OF→＋13FP→＝OF→＋13(OP→－OF→)＝13OP→＋23OF→＝y206p＋p3，y03，kOM＝y03y206p＋p3＝2y0p＋2py0≤222＝22，当且仅当y20＝2p2等号成立.故选C.答案C13.(2016·湖北七校联考)已知抛物线方程为y2＝－4x，直线l的方程为2x＋y－4＝0，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，到直线l的距离为n，则m＋n的最小值为________.解析如图，过A作AH⊥l，AN垂直于抛物线的准线，则|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，连接AF，则|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面几何知识，知当A，F，H三点共线时，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值为F到直线l的距离，即65＝655，即m＋n的最小值为655－1.答案655－114.(2017·南昌模拟)已知抛物线C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p＞0)的焦点分别为F1，F2，点P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O为坐标原点).(1)求抛物线C2的方程；(2)过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN面积的最小值.解(1)由题意知F1(1，0)，F20，p2，∴F1F2→＝－1，p2，∵F1F2⊥OP，∴F1F2→·OP→＝－1，p2·(－1，－1)＝1－p2＝0，∴p＝2，∴抛物线C2的方程为x2＝4y.(2)设过点O的直线为y＝kx(k＜0)，联立y＝kx，y2＝4x得M4k2，4k，联立y＝kx.x2＝4y得N(4k，4k2)，从而|MN|＝1＋k24k2－4k＝1＋k24k2－4k，又点P到直线MN的距离d＝|k－1|1＋k2，进而S△PMN＝12·|k－1|1＋k2·1＋k2·4k2－4k＝2·（1－k）（1－k3）k2＝2（1－k）2（1＋k＋k2）k2＝2k＋1k－2k＋1k＋1，令t＝k＋1k(t≤－2)，则有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，当t＝－2时，此时k＝－1，S△PMN取得最小值.即当过点O的直线为y＝－x时，△PMN面积的最小值为8.