【新高考复习】2 第2讲　导数与函数的单调性　新题培优练

[基础题组练]1．(2019·河北省九校第二次联考)函数y＝x＋3x＋2lnx的单调递减区间是()A．(－3，1)B．(0，1)C．(－1，3)D．(0，3)解析：选B.法一：令y′＝1－3x2＋2x＜0，得－3＜x＜1，又x＞0，故所求函数的单调递减区间为(0，1)．故选B.法二：由题意知x＞0，故排除A、C选项；又f(1)＝4＜f(2)＝72＋2ln2，故排除D选项．故选B.2．(2019·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)f(c)f(d)B．f(b)f(a)f(e)C．f(c)f(b)f(a)D．f(c)f(e)f(d)解析：选C.由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为abc，所以f(c)f(b)f(a)，故选C.3．(2019·江西七校第一次联考)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(－∞，2]D．(－∞，2)解析：选C.因为f′(x)＝6(x2－mx＋1)，且函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝6(x2－mx＋1)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x2－mx＋1≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m≤x2＋1x＝x＋1x在(1，＋∞)上恒成立，即m≤x＋1xmin(x∈(1，＋∞))，因为当x∈(1，＋∞)时，x＋1x＞2，所以m≤2.故选C.4．设函数f(x)＝12x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1，2]B．(4，＋∞)C．(－∞，2)D．(0，3]解析：选A.因为f(x)＝12x2－9lnx，所以f′(x)＝x－9x(x0)，由x－9x≤0，得0x≤3，所以f(x)在(0，3]上是减函数，则[a－1，a＋1]⊆(0，3]，所以a－10且a＋1≤3，解得1a≤2.5．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f12，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：选C.因为当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)＜f12＝b，又f(x)＝f(2－x)，所以c＝f(3)＝f(－1)，所以c＝f(－1)＜f(0)＝a，所以c＜a＜b，故选C.6．函数f(x)＝x4＋54x－lnx的单调递减区间是________．解析：因为f(x)＝x4＋54x－lnx，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝14－54x2－1x＝x2－4x－54x2，令f′(x)＜0，解得0＜x＜5，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，5)．答案：(0，5)7．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a0，解得a－3，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)8．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________．解析：由f(x)图象特征可得，f′(x)在－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在12，2上小于0，所以xf′(x)≥0⇔x≥0，f′（x）≥0或x≤0，f′（x）≤0⇔0≤x≤12或x≥2，所以xf′(x)≥0的解集为0，12∪[2，＋∞)．答案：0，12∪[2，＋∞)9．已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．解：(1)由题意得f′(x)＝1x－lnx－kex，又因为f′(1)＝1－ke＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝1x－lnx－1ex，设h(x)＝1x－lnx－1(x0)，则h′(x)＝－1x2－1x0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0x1时，h(x)0，从而f′(x)0；当x1时，h(x)0，从而f′(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在(－1，1)上为单调减函数，求实数a的取值范围；(3)若函数f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的值；(4)若函数f(x)在区间(－1，1)上不单调，求实数a的取值范围．解：(1)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]．(2)由题意知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，所以a≥3x2在(－1，1)上恒成立，因为当－1x1时，3x23，所以a≥3，所以a的取值范围为[3，＋∞)．(3)由题意知f′(x)＝3x2－a，则f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，又f(x)的单调递减区间为(－1，1)，所以3a3＝1，解得a＝3.(4)由题意知：f′(x)＝3x2－a，当a≤0时，f′(x)≥0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a0.令f′(x)＝0，解得x＝±3a3.因为f(x)在区间(－1，1)上不单调，所以f′(x)＝0在(－1，1)上有解，需03a31，得0a3，所以实数a的取值范围为(0，3)．[综合题组练]1．(2019·南昌模拟)已知函数f(x)＝xsinx，x1，x2∈－π2，π2，且f(x1)f(x2)，那么()A．x1－x20B．x1＋x20C．x21－x220D．x21－x220解析：选D.由f(x)＝xsinx，得f′(x)＝sinx＋xcosx＝cosx(tanx＋x)，当x∈0，π2时，f′(x)0，即f(x)在0，π2上为增函数，又f(－x)＝－xsin(－x)＝xsinx＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以当f(x1)f(x2)时，有f(|x1|)f(|x2|)，所以|x1||x2|，x21－x220，故选D.2．(2019·郑州市第二次质量预测)函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)且f(3)＝0，则不等式f(x)＜0的解集为()A．(0，2)B．(0，3)C．(2，3)D．(3，＋∞)解析：选B.令g(x)＝xf(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝ex(x－2)，可知当x∈(0，2)时，g(x)＝xf(x)是减函数，当x∈(2，＋∞)时，g(x)＝xf(x)是增函数.又f(3)＝0，所以g(3)＝3f(3)＝0.在(0，＋∞)上，不等式f(x)＜0的解集就是xf(x)＜0的解集，又g(0)＝0，所以f(x)＜0的解集是(0，3)，故选B.3．(应用型)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2＋2)f(3x)，则实数x的取值范围是________．解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x＋2xln2，所以在定义域内f′(x)0，函数单调递增，所以由f(x2＋2)f(3x)得x2＋23x，所以1x2.答案：(1，2)4．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x0时，xf′(x)－f(x)0，则使得f(x)0成立的x的取值范围是________．解析：设y＝g(x)＝f（x）x(x≠0)，则g′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，当x0时，xf′(x)－f(x)0，所以g′(x)0，所以g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)的图象的示意图如图所示．当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，0＜x＜1，当x＜0，g(x)＜0时，f(x)0，x＜－1，所以使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．答案：(－∞，－1)∪(0，1)5．(综合型)设函数f(x)＝alnx＋x－1x＋1，其中a为常数．(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数f(x)的单调性．解：(1)由题意知a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞)，此时f′(x)＝2（x＋1）2，可得f′(1)＝12，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝ax＋2（x＋1）2＝ax2＋（2a＋2）x＋ax（x＋1）2.当a≥0时，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)．①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12（x－1）2x（x＋1）2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a－12时，Δ0，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－12a0时，Δ0，设x1，x2(x1x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－（a＋1）＋2a＋1a，x2＝－（a＋1）－2a＋1a.由于x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a0，所以当x∈(0，x1)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈(x1，x2)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(x2，＋∞)时，g(x)0，f′(x)0，函数f(x)单调递减．综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－12a0时，f(x)在0，－（a＋1）＋2a＋1a，－（a＋1）－2a＋1a，＋∞上单调递减，在－（a＋1）＋2a＋1a，－（a＋1）－2a＋1a上单调递增．6．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2·f′（x）＋m2在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝a（1－x）x，当a0时，f(x)的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)；当a0时，f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)；当a＝0时，f(x)为常函数．(2)由(1)及题意得f′(2)＝－a2＝1，即a＝－2，所以f(x)＝－2lnx＋2x－3，f′(x)＝2x－2x.所以g(x)＝x3＋m2＋2x2－2x，所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g′(x)在区间(t，3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，所以g′（t）0，g′（3）0.当g′(t)0时，即3t2＋(m＋4)t－20对任意t∈[1，2]恒成