【新高考复习】第3讲　函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2017·肇庆三模)在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsinx中，偶函数的个数是()A.3B.2C.1D.0解析y＝xcosx为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lgx2－2与y＝xsinx为偶函数.答案B2.(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0，1)内是增函数B.奇函数，且在(0，1)内是减函数C.偶函数，且在(0，1)内是增函数D.偶函数，且在(0，1)内是减函数解析易知f(x)的定义域为(－1，1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，则y＝f(x)为奇函数，又y＝ln(1＋x)与y＝－ln(1－x)在(0，1)上是增函数，所以f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(0，1)上是增函数.答案A3.(2017·赣中南五校联考)已知y＝f(x)是奇函数，当x0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为()A.5B.1C.－1D.－3解析∵y＝f(x)是奇函数，且f(3)＝6.∴f(－3)＝－6，则9－3a＝－6，解得a＝5.答案A4.已知函数f(x)＝xex－1ex，若f(x1)f(x2)，则()A.x1x2B.x1＋x2＝0C.x1x2D.x21x22解析∵f(－x)＝－x1ex－ex＝f(x).∴f(x)在R上为偶函数，f′(x)＝ex－1ex＋xex＋1ex，∴x0时，f′(x)0，∴f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，∴|x1||x2|，∴x21x22.答案D5.(2017·西安一模)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为()A.2B.1C.－1D.－2解析∵f(x＋1)为偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(x＋2)，又y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0.从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期为4.∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2.答案A二、填空题6.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.解析由于f(－x)＝f(x)，∴ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得2ax＋3x＝0(x∈R)，则2a＋3＝0，∴a＝－32.答案－327.(2017·合肥质检)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________.解析由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f294＋f416＝f－34＋f－76＝－f34－f76＝－316＋sinπ6＝516.答案5168.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f12＝0，则满足f(x)0的x的集合为________.解析由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且f12＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且f－12＝0，∴f(x)0时，x12或－12x0.答案x－12x0或x12三、解答题9.设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间[－1，2]上的表达式.解(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x).又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x).又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数.(2)当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，则f(x)＝f(－x)＝x；进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.故f(x)＝－x，x∈[－1，0]，x，x∈（0，1），－x＋2，x∈[1，2].10.已知函数f(x)＝－x2＋2x，x0，0，x＝0，x2＋mx，x0是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)设x0，则－x0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).于是x0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知a－2－1，a－2≤1，所以1a≤3，故实数a的取值范围是(1，3].11.(2017·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A.(－1，4)B.(－2，0)C.(－1，0)D.(－1，2)解析∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)1，f(5)＝2a－3a＋1，∴2a－3a＋11，即a－4a＋10，解得－1a4.答案A12.对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2015)＋f(2016)＝()A.0B.2C.3D.4解析y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，∴f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0，则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，则函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2015)＋f(2016)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2.答案B13.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.解析因为当0≤x2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.答案714.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.解(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f(1－x).故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.