【新高考复习】第1讲　平面向量的概念及线性运算

第1讲平面向量的概念及线性运算一、选择题1.已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→.其中结果为零向量的个数为()A.1B.2C.3D.4解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.答案B2.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是()A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|－λa|≥|a|D.|－λa|≥|λ|·a解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小.答案B3.如图，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝()A.0B.BE→C.AD→D.CF→解析由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→.答案D4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.答案D5.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于()A.OM→B.2OM→C.3OM→D.4OM→解析OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→)＝2OM→＋2OM→＝4OM→.故选D.答案D6.在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b，若点D满足BD→＝2DC→，则AD→等于()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c解析∵BD→＝2DC→，∴AD→－AB→＝BD→＝2DC→＝2(AC→－AD→)，∴3AD→＝2AC→＋AB→，∴AD→＝23AC→＋13AB→＝23b＋13c.答案A7.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，AB→＝2a＋pb，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A.－2B.－1C.1D.2解析∵BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴AB→，BD→共线.设AB→＝λBD→，∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.答案B8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB→＝a，AC→＝b，则AD→＝()A.a－12bB.12a－bC.a＋12bD.12a＋b解析连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD→＝12AB→＝12a，所以AD→＝AC→＋CD→＝b＋12a.答案D二、填空题9.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA→相等的向量有________个.解析根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA→相等的向量有CB→，DO→，EF→，共3个.答案310.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________.解析因为ABCD为平行四边形，所以AB→＋AD→＝AC→＝2AO→，已知AB→＋AD→＝λAO→，故λ＝2.答案211.向量e1，e2不共线，AB→＝3(e1＋e2)，CB→＝e2－e1，CD→＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线.其中所有正确结论的序号为________.解析由AC→＝AB→－CB→＝4e1＋2e2＝2CD→，且AB→与CB→不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上.答案④12.已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0，若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝________.解析由已知条件得MB→＋MC→＝－MA→，如图，延长AM交BC于D点，则D为BC的中点.延长BM交AC于E点，延长CM交AB于F点，同理可证E，F分别为AC，AB的中点，即M为△ABC的重心，∴AM→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，即AB→＋AC→＝3AM→，则m＝3.答案313.(2017·延安模拟)设e1与e2是两个不共线向量，AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A.－94B.－49C.－38D.不存在解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB→＝λBD→.又AB→＝3e1＋2e2，CB→＝ke1＋e2，CD→＝3e1－2ke2，所以BD→＝CD→－CB→＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，所以3＝λ（3－k），2＝－λ（2k＋1），解得k＝－94.答案A14.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP→＝2OA→＋BA→，则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上解析因为2OP→＝2OA→＋BA→，所以2AP→＝BA→，所以点P在线段AB的反向延长线上，故选B.答案B15.O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析作∠BAC的平分线AD.∵OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，∴AP→＝λAB→|AB→|＋AC→|AC→|＝λ′·AD→|AD→|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP→＝λ′|AD→|·AD→，∴AP→∥AD→.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.答案B16.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状为________.解析OB→＋OC→－2OA→＝(OB→－OA→)＋(OC→－OA→)＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形.答案直角三角形