【新高考复习】第6讲　空间向量及其运算

第6讲空间向量及其运算一、选择题1.(2017·黄冈模拟)已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于()A.32B.－2C.0D.32或－2解析∵a∥b，∴2m＋12＝3m＝m－1－m，解得m＝－2.答案B2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈CM→，D1N→〉的值为()A.19B.459C.259D.23解析如图，设正方体棱长为2，则易得CM→＝(2，－2，1)，D1N→＝(2，2，－1)，∴cos〈CM→，D1N→〉＝CM→·D1N→|CM→||D1N→|＝－19，∴sin〈CM→，D1N→〉＝1－－192＝459.答案B3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.AE→·BC→＜AE→·CD→B.AE→·BC→＝AE→·CD→C.AE→·BC→＞AE→·CD→D.AE→·BC→与AE→·CD→的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉12CD，因为〈AE→，EF→〉＝〈AE→，CD→〉＞90°，因为AE→·BC→＝0，∴AE→·CD→＜0，所以AE→·BC→＞AE→·CD→.答案C4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A.－1B.43C.53D.75解析由题意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝75.答案D5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE→·AF→的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.34a2解析如图，设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE→＝12(a＋b)，AF→＝12c，∴AE→·AF→＝12(a＋b)·12c＝14(a·c＋b·c)＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.答案C二、填空题6.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________.解析由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝b·c|b|·|c|＝－1812×1＋4＋4＝－12，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.答案60°7.正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________.解析|EF→|2＝(EC→＋CD→＋DF→)2＝EC→2＋CD→2＋DF→2＋2(EC→·CD→＋EC→·DF→＋CD→·DF→)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，∴|EF→|＝2，∴EF的长为2.答案28.(2017·南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，现用基底{OA→，OB→，OC→}表示向量OG→，有OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x，y，z的值分别为________.解析∵OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(ON→－OM→)＝12OA→＋2312（OB→＋OC→）－12OA→＝16OA→＋13OB→＋13OC→，∴x＝16，y＝13，z＝13.答案16，13，13三、解答题9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB→，b＝AC→.(1)若|c|＝3，且c∥BC→，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1)∵c∥BC→，BC→＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝mBC→＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，∴|c|＝（－2m）2＋（－m）2＋（2m）2＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又∵|a|＝12＋12＋02＝2，|b|＝（－1）2＋02＋22＝5，∴cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－110＝－1010，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.10.如图，在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E，F的坐标；(2)求证：A1F⊥C1E；(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：A1F→＝12A1C1→＋A1E→.(1)解E(a，x，0)，F(a－x，a，0).(2)证明∵A1(a，0，a)，C1(0，a，a)，∴A1F→＝(－x，a，－a)，C1E→＝(a，x－a，－a)，∴A1F→·C1E→＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，∴A1F→⊥C1E→，∴A1F⊥C1E.(3)证明∵A1，E，F，C1四点共面，∴A1E→，A1C1→，A1F→共面.选A1E→与A1C1→为在平面A1C1E上的一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使A1F→＝λ1A1C1→＋λ2A1E→，即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a，0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，∴－x＝－aλ1，a＝aλ1＋xλ2，－a＝－aλ2，解得λ1＝12，λ2＝1.于是A1F→＝12A1C1→＋A1E→.11.在空间四边形ABCD中，AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝()A.－1B.0C.1D.不确定解析如图，令AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c，则AB→·CD→＋AC→·DB→＋AD→·BC→＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.答案B12.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量p＝xa＋yb＋zc，则(x，y，z)叫向量p在基底{a，b，c}下的坐标.已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是()A.(4，0，3)B.(3，1，3)C.(1，2，3)D.(2，1，3)解析设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，①因为p在{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，∴p＝4a＋2b＋3c，②由①②得x＋y＝4，x－y＝2，z＝3，∴x＝3，y＝1，z＝3，即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3).答案B13.(2017·郑州调研)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA→＝(1，2，3)，OB→＝(2，1，2)，OP→＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当QA→·QB→取得最小值时，OQ→的坐标是__________.解析∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，则QA→＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB→＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA→·QB→＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6λ－432－23.即当λ＝43时，QA→·QB→取得最小值－23.此时OQ→＝43，43，83.答案43，43，8314.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF→·BA→；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值.解设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)EF→＝12BD→＝12c－12a，BA→＝－a，DC→＝b－c，EF→·BA→＝12c－12a·(－a)＝12a2－12a·c＝14，(2)EG→＝EB→＋BC→＋CG→＝12a＋b－a＋12c－12b＝－12a＋12b＋12c，|EG→|2＝14a2＋14b2＋14c2－12a·b＋12b·c－12c·a＝12，则|EG→|＝22.(3)AG→＝12b＋12c，CE→＝CA→＋AE→＝－b＋12a，cos〈AG→，CE→〉＝AG→·CE→|AG→||CE→|＝－23，由于异面直线所成角的范围是0，π2，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为23.