【新高考复习】专题12 计数原理-备战2019年高考数学（理）之纠错笔记系列（解析版）

易错点1分类计数时考虑不全有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？【错解】每次升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×2＝6种不同的信号；每次升3面旗可组成3×2×1＝6种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同的信号3＋6＋6＝15种．【错因分析】本题中没有规定升起旗子的颜色不同，所以每次升起2面或3面旗时，颜色可以相同．【试题解析】每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理得，共可组成：3＋9＋27＝39种不同的信号．【参考答案】39种.1．能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点:(1)完成一件事有若干种方法,这些方法可以分成n类;(2)用每一类中的每一种方法都可以完成这件事;(3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.2．使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．3．应用分类加法计数原理要注意的问题：（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．（3）确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏．1．在3名男教师和3名女教师中选取3人参加义务献血,要求男、女教师都有,则有种不同的选取方法(用数字作答).【答案】18易错点2未选准分步依据将4封信投入到3个信箱中，共有多少种不同的投法？【错解】第1个信箱可能投1封信，2封信，3封信或4封信，共有4种投法；同理，第2个信箱也有4种投法，第3个信箱也有4种投法.根据分步乘法计数原理，共有3444464种不同的投法.【错因分析】要完成的一件事是“将4封信投入到3个信箱中”，且1封信只能投入1个信箱，错解中会出现1封信同时投入2个信箱或3个信箱的情况，这是不可能发生的.因此，分步的依据应该是“信”，而不应该是“信箱”.【试题解析】第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法;同理，第2，3，4封信各有3种投法.根据分步乘法计数原理，共有43333381种投法.【参考答案】81种.对于一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步乘法计数原理来解决，求解的关键是明确要完成的一件事是什么.即用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据.对于本题，若是将3封信投入到4个信箱中，则共有3444464种不同的投法.1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点:（1）完成一件事需要经过n个步骤,缺一不可;（2）完成每一步有若干方法;（3）把各个步骤的方法数相乘,就可以得到完成这件事的所有方法数.2．应用分步乘法计数原理要注意的问题：（1）明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．2．5名男生与5名女生排成一排,男生甲与男生乙之间有且只有2名女生,且女生不排在两端,这样的排列种数为A．5760B．57600C．2880D．28800【答案】B【解析】先选2名女生放在男生甲与男生乙之间，并捆绑在一起看作一个复合元素,即种排法，女生不排在两端,则加上另外的3名男生共4个选择中选2个排在两端，即种排法，剩下的元素全排列,即种排法，故有=57600．故选：B．学科@网易错点3忽视排列数、组合数公式的隐含条件解不等式288A6Axx.【错解】由排列数公式得8!8!6(8)!(10)!xx，化简得x2－19x＋840，解之得7x12.∵x∈N*，∴x＝8,9,10,11.【错因分析】在排列数公式Amn中，隐含条件m≤n，m∈N*，n∈N*，错解中没有考虑到x－20，8≥x，导致错误．【试题解析】由288A6Axx，得8!8!6(8)!(10)!xx，化简得x2－19x＋840，解之得7x12，①又8≥x，x－20，∴2x≤8，②由①②及x∈N*得x＝8.【参考答案】x＝8.注意公式的适用条件．数学中有许多公式、定理、法则都是有限制条件的，如在排列数公式Amn中，n∈N*，m∈N*，且n≥m，忽视限制条件就可能导致错误．1．应用排列数、组合数公式化简、求值、解方程、解不等式等时，一定要注意隐含条件“n∈N*，m∈N*，且n≥m”，即上标不大于下标且均为正整数.2．ACAmmnnmm这个公式体现了排列数公式和组合数公式的联系，也可以用这个关系去加强对公式的记忆.每个公式都有相应的连乘形式和阶乘形式，连乘形式多用于数字计算，阶乘形式多用于对含有字母的排列数或者组合数进行变形或证明.对于排列数公式的连乘形式与阶乘形式,运用时注意把握以下几点：（1）排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数.学科.网（2）排列数公式的阶乘形式主要有两个作用：①当m，n较大时，使用计算器快捷地算出结果；②对含有字母的排列数的式子进行变形.注意常用变形1111AA,AAA(!(1)!!)nnnnnnnnnnnnnnnn的应用.3．0CCmnmknknkA．2mnB．C2mnmC．2CnmnD．2Cmmn【答案】D组合数公式的连乘形式体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到.组合数公式的阶乘形式主要作用有：(1)计算m，n较大时的组合数；(2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明.易错点4重复计数与遗漏计数有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A．1260B．2025C．2520D．5040【错解】分三步完成：第1步,从10人中选出4人，有410C种方法.第2步,从这4人中选出2人承担任务甲，有24A种方法.第3步,剩下的2人分别承担任务乙、丙，有22A种方法.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有410C24A22A5040种.故选D．【错因分析】错解中对“排列”、“组合”两个概念掌握不准确.承担任务甲的两人与顺序无关，此处应是组合问题，即24A应为24C.【试题解析】先从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出2人分别承担任务乙、丙.根据分步乘法计数原理，不同的选法共有2111087CCC2520种.故选C．【参考答案】C．计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.排列问题还要找出排序的依据，看每一种情况是否都考虑进去了.1．没有限制条件的排列问题,即对所排列的“元素”或所排列的“位置”没有特别的限制,这一类题相对简单,分清“元素”和“位置”即可.无约束条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.2．“在”与“不在”的有限制条件的问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：（1）以元素为主考虑，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置为主考虑，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位置；（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数.3．解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其他元素一起排列，然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，最后利用分步乘法计数原理求解.解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将n个不同元素排成一排，其中某k个元素互不相邻1()knk，求不同排法种数的方法是：先将nk个元素排成一排,然后把k个元素插入1nk个空隙中，最后利用分步乘法计数原理求解.4．某学校安排甲、乙、丙、丁等5位同学参加数学、物理、化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有1位同学参加,且甲、乙不能参加同一学科,丙、丁也不能参加同一学科,则不同的安排方法有种.【答案】84易错点5要正确区分分堆与分配问题有12本不同的书，分成4堆.(1)若每堆3本，有几种方法？(2)若4堆依次为1本，3本，4本，4本，有几种分法？(3)若4堆依次为1本，2本，3本，6本，有几种分法？(只要求列出算式)【错解】(1)有333312963CCCC种分法；(2)有1344121184CCCC种分法；(3)有1236121196CCCC种分法．【错因分析】A、B、C、D四本书平均分为两堆，只有AB，CD；AC，BD；AD，BC三种分法，而C24·C22＝6，显然计数错误，原因是先从4本书中选取AB，再取CD和先取CD，再取AB是同一种分法，上述错解犯了相同的错误．学科*网【试题解析】(1)有33331296344CCCCA种分法．(2)有134412118422CCCCA种分法．(3)有1236121196CCCC种分法．【参考答案】见试题解析.1．分堆与分配问题将一组n个不同元素平均分给A、B、C等不同的单位，每个单位m个，可先从n个中选取m个给A，再从剩下的n－m个中选取m个给B，…，依次类推，不同方法种数为CmnCmn－m…Cmm个；将一组n个不同元素平均分成k堆，每堆m个，由于某m个元素先选和后选分堆结果是一样的，故不同分堆方法数为Cmn·Cmn－m·…·Cmmk！.2．相同元素分配，每单位至少含有一个元素，可用插板法；相同元素分组，按元素最多的组分类，用数数法．5．有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成每组都是2本的三组；(4)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】(1)60(种)．(2)360(种)．(3)15(种)．(4)90(种).(3)先分三步，则应是C26·C24·C22种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26·C24·C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共A33种情况，而且这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有C26·C24·C22A33＝15(种)．(4)在问题(3)的基础上再分配即可，共有分配方法C26·C24·C22A33·A33＝C26·C24·C22＝90(种)．学科*网易错点6混淆项的系数与项的二项式系数若28()axx的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为.【错解】28()axx的展开式中各项系数之和为012888888CCCC2L.【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.【试题解析】28()axx的展开式的通项为82282188C()C()rrrrrrrrTx