专题四《函数》讲义5.4对数函数知识梳理.对数函数1.对数概念如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底数N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化:ax=N⇔x=logaN(a0,且a≠1)loga1=0,logaa=1,alogaN=N(a0,且a≠1)运算法则loga(M·N)=logaM+logaNa0,且a≠1,M0,N0logaMN=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)换底公式logab=logcblogca(a0,且a≠1,c0,且c≠1,b0)2.对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象与性质底数a10a1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象过定点(1,0),即恒有loga1=0当x1时,恒有y0;当0x1时,恒有y0当x1时,恒有y0;当0x1时,恒有y0在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数题型一.指、对运算1.已知函数f(x)={𝑙𝑜𝑔2𝑥,0<𝑥≤1𝑓(𝑥−1),𝑥>1,则f(20192)=﹣1【解答】解:函数f(x)={𝑙𝑜𝑔2𝑥,0<𝑥≤1𝑓(𝑥−1),𝑥>1,则f(20192)=f(20172)=f(20152)=…=f(12)=log212=−1.故答案为:﹣1.2.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=2x;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+𝑙𝑜𝑔123)=643.【解答】解:∵函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=2x;当x<4时f(x)=f(x+1),又∵2+𝑙𝑜𝑔123∈(0,1),∴f(2+𝑙𝑜𝑔123)=f[4+(2+𝑙𝑜𝑔123)]=f(2+𝑙𝑜𝑔123)=f(𝑙𝑜𝑔2643)=2𝑙𝑜𝑔2643=643,故答案为:6433.已知a>b>1,若logab+logba=52,𝑎𝑏=𝑏𝑎,则a,b的值分别为()A.a=5,b=2B.a=4,b=2C.a=8,b=4D.𝑎=2,𝑏=√2【解答】解:由𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏+𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎=52,得𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎=2⇒𝑏2=𝑎,从而b2b=ba⇒a=2b,则b=2,a=4.故选:B.4.设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<abD.ab<0<a+b【解答】解:∵a=log0.20.3=𝑙𝑔0.3−𝑙𝑔5,b=log20.3=𝑙𝑔0.3𝑙𝑔2,∴𝑎+𝑏=𝑙𝑔0.3𝑙𝑔2−𝑙𝑔0.3𝑙𝑔5=𝑙𝑔0.3(𝑙𝑔5−𝑙𝑔2)𝑙𝑔2𝑙𝑔5=𝑙𝑔0.3𝑙𝑔52𝑙𝑔2𝑙𝑔5,𝑎𝑏=−𝑙𝑔0.3𝑙𝑔2⋅𝑙𝑔0.3𝑙𝑔5=𝑙𝑔0.3⋅𝑙𝑔103𝑙𝑔2𝑙𝑔5,∵𝑙𝑔103>𝑙𝑔52,𝑙𝑔0.3𝑙𝑔2𝑙𝑔5<0,∴ab<a+b<0.故选:B.题型二.比较大小1.(2017秋•信丰县校级月考)设a=log32,b=ln2,c=512,则a、b、c三个数的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a【解答】解:∵0<ln2<lne=1,ln3>1,∴log32=𝑙𝑛2𝑙𝑛3<ln2,∴a<b<1,∵c=512>50=1,∴c>b>a,故选:D.2.已知a=log36,b=log510,c=log714,则a,b,c的大小关系是()A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【解答】解:a=log36=1+log32,b=log510=1+log52,c=log714=1+log72,而log32>log52>log72,∴c<b<a.故选:B.3.(2016•新课标Ⅰ)若a>b>1,0<c<1,则()A.ac<bcB.abc<bacC.alogbc<blogacD.logac<logbc【解答】解:∵a>b>1,0<c<1,∴函数f(x)=xc在(0,+∞)上为增函数,故ac>bc,故A错误;函数f(x)=xc﹣1在(0,+∞)上为减函数,故ac﹣1<bc﹣1,故bac<abc,即abc>bac;故B错误;logac<0,且logbc<0,logab<1,即𝑙𝑜𝑔𝑐𝑏𝑙𝑜𝑔𝑐𝑎=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐𝑙𝑜𝑔𝑏𝑐<1,即logac>logbc.故D错误;0<﹣logac<﹣logbc,故﹣blogac<﹣alogbc,即blogac>alogbc,即alogbc<blogac,故C正确;故选:C.4.(2020•新课标Ⅲ)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则()A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b【解答】解:由34𝑙𝑜𝑔55=34𝑙𝑜𝑔88,∵𝑙𝑜𝑔5534>𝑙𝑜𝑔53,而𝑙𝑜𝑔8834<𝑙𝑜𝑔85∴log53<log85,即a<b;∵55<84,∴5<4log58,∴log58>1.25,∴b=log85<0.8;∵134<85,∴4<5log138,∴c=log138>0.8,∴c>b,综上,c>b>a.故选:A.5.若𝑎=𝑙𝑛22,𝑏=𝑙𝑛33,𝑐=𝑙𝑛55,则a,b,c的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>a>c【解答】解:令𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥𝑥,𝑓′(𝑥)=1−𝑙𝑛𝑥𝑥2,∴x>e时,f′(x)<0,∴f(x)在(e,+∞)上单调递减,又𝑎=𝑙𝑛22=𝑙𝑛44=f(4),𝑏=𝑙𝑛33=𝑓(3),𝑐=𝑙𝑛55=𝑓(5),∴f(3)>f(4)>f(5),∴b>a>c.故选:D.6.(2017•新课标Ⅰ)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z【解答】解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔2,y=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔3,z=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔5.∴3y=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔√33,2x=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔√2,5z=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔√55.∵√33=√96>√86=√2,√2=√3210>√2510=√55.∴𝑙𝑔√33>lg√2>𝑙𝑔√55>0.∴3y<2x<5z.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔2,y=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔3,z=𝑙𝑔𝑘𝑙𝑔5.∴2𝑥3𝑦=23×𝑙𝑔3𝑙𝑔2=𝑙𝑔9𝑙𝑔8>1,可得2x>3y,5𝑧2𝑥=52×𝑙𝑔2𝑙𝑔5=𝑙𝑔25𝑙𝑔52>1.可得5z>2x.综上可得:5z>2x>3y.解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选:D.题型三.对数函数的图像与性质1.已知函数f(x)=lg(ax2+3x+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是(98,+∞).【解答】解:根据条件可知ax2+3x+2>0恒成立,则a>0,且△=9﹣8a<0,解得a>98,故a的取值范围是(98,+∞).故答案为:(98,+∞).2.(2014•西城区模拟)已知函数f(x)=logm(2﹣x)+1(m>0,且m≠1)的图象恒过点P,且点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,那么ab的()A.最大值为14B.最小值为14C.最大值为12D.最小值为12【解答】解:当2﹣x=1,即x=1时,y=f(1)=logm(2﹣1)+1=1,∴函数f(x)的图象恒过点P(1,1);又点P在直线ax+by=1(a>0,b>0)上,∴a+b=1,∴ab≤(𝑎+𝑏2)2=14,当且仅当a=b=12时,“=”成立.故选:A.3.(2020春•吉林期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是()A.B.C.D.【解答】解:由于函数y=lg(x+1)的图象可由函数y=lgx的图象左移一个单位而得到,函数y=lgx的图象与X轴的交点是(1,0),故函数y=lg(x+1)的图象与X轴的交点是(0,0),即函数y=|lg(x+1)|的图象与X轴的公共点是(0,0),考察四个选项中的图象只有A选项符合题意故选:A.4.(2008•山东)已知函数f(x)=loga(2x+b﹣1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是()A.0<a﹣1<b<1B.0<b<a﹣1<1C.0<b﹣1<a<1D.0<a﹣1<b﹣1<1【解答】解:∵函数f(x)=loga(2x+b﹣1)是增函数,令t=2x+b﹣1,必有t=2x+b﹣1>0,t=2x+b﹣1为增函数.∴a>1,∴0<1𝑎<1,∵当x=0时,f(0)=logab<0,∴0<b<1.又∵f(0)=logab>﹣1=loga1𝑎,∴b>1𝑎,∴0<a﹣1<b<1.故选:A.5.(2020秋•西安月考)已知函数f(x)=lg𝑒𝑥−𝑒−𝑥2,则f(x)是()A.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递增B.奇函数,且在R上单调递增C.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减D.偶函数,且在R上单调递减【解答】解:根据题意,函数f(x)=lg𝑒𝑥−𝑒−𝑥2,有𝑒𝑥−𝑒−𝑥2>0,即ex﹣e﹣x>0,解可得x>0,即函数的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,是非奇非偶函数,设t=𝑒𝑥−𝑒−𝑥2,其导数t′=𝑒𝑥+𝑒−𝑥2>0,则t=𝑒𝑥−𝑒−𝑥2在区间(0,+∞)上为增函数,则y=lgt,在(0,+∞)上为增函数,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,故选:A.题型四.复合函数的单调性与值域1.(2019秋•泸州月考)已知函数y=loga(1﹣ax)在(1,2)上是增函数,则a的取值范围是()A.(1,2)B.[1,2]C.(0,12)D.(0,12]【解答】解:∵a>0且a≠1,∴内层函数t=1﹣ax为减函数,要使函数y=loga(1﹣ax)在(1,2)上是增函数,则{0<𝑎<11−2𝑎≥0,解得0<a≤12.∴a的取值范围是(0,12].故选:D.2.(2018秋•和平区校级期中)若函数y=loga(x2﹣ax+2)在区间(﹣∞,1]上为减函数,则a的取值范围是[2,3).【解答】解:令g(x)=x2﹣ax+2(a>0,且a≠1),①当a>1时,g(x)在(﹣∞,1]上为减函数,∴{𝑎2≥112−𝑎+2>0∴2≤a<3;②当0<a<1时,g(x)在(﹣∞,1]上为减函数,此时不成立.综上所述:2≤a<3.故答案为:[2,3).3.(2017秋•寻乌县校级期中)已知函数f(x)=log4(ax2﹣4x+a)(a∈R),若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是()A.[0,2]B.(2,+∞)C.(0,2]D.(﹣2,2)【解答】解:函数f(x)=log4(ax2﹣4x+a)(a∈R),f(x)的值域为R,只需保证函数y=ax2﹣4x+a的值域能取到大于等于0的数.当a=0时,函数y值域能取到大于等于0的数,当a≠0时,要使函数y值域能取到大于等于0的数,则需满足{𝑎>04𝑎𝑐−𝑏24𝑎≤0,解得:0<a≤2.综上所得:实数a的取值范围是[0,2].故选:A.4.(2016春•大庆校级月考)设a>0,a≠1,函数f(x)=loga(x2﹣2x+3)有最小值,则不等式loga(x﹣1)<0的解集()A.(﹣∞,2)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(1,2)∪(2,+∞)【解答】解:当a>0,a≠1时,函数f(x)=loga(x2﹣2x+3)有最小值,∴a>1,∵不等式loga(x﹣1)<0,∴0<x﹣1<1,解得1<x<2.∴不等式loga(x﹣1)<0的解集为(1,2).故
本文标题:【新高考复习】专题05 函数 5.4对数函数 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习(解析版)
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