【新高考复习】专题06 导数 6.1导数的几何意义 题型归纳讲义-2022届高三数学一轮复习（解析版

专题六《导数》讲义6.1导数的几何意义——切线知识梳理.导数的几何意义1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnx(x0)f′(x)＝1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．题型一.在某点的切线1．函数f（x）＝xlnx﹣x3﹣x+1的图象在x＝1处的切线方程是3x+y﹣2＝0（或y＝﹣3x+2）．【解答】解：由题意可得f'（x）＝lnx﹣3x2，则f'（1）＝﹣3，f（1）＝﹣1，故所求切线方程为y+1＝﹣3（x﹣1），即3x+y﹣2＝0．故答案为：3x+y﹣2＝0（或y＝﹣3x+2）．2．直线y＝kx+1与曲线y＝x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值为1．【解答】解：y＝x3+ax+b的导数为y′＝3x2+a，可得切线的斜率为k＝3+a，又k+1＝3，1+a+b＝3，解得k＝2，a＝﹣1，b＝3，即有2a+b＝﹣2+3＝1．故答案为：1．3．已知曲线y=1𝑒𝑥+1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为（）A．x+4y﹣2＝0B．x﹣4y+2＝0C．4x+2y﹣1＝0D．4x﹣2y﹣1＝0【解答】解：y=1𝑒𝑥+1的导数为y′=−𝑒𝑥(𝑒𝑥+1)2，即有−𝑒𝑥(𝑒𝑥+1)2=−1𝑒𝑥+𝑒−𝑥+2≥−12√𝑒𝑥⋅𝑒−𝑥+2=−14．当且仅当x＝0时，取得等号．即有切线的斜率为k=−14，切点为（0，12），则切线的方程为y=−14x+12，即为x+4y﹣2＝0．故选：A．题型二.过某点的切线1．已知函数f（x）＝x2﹣5x+7，求经过点A（1，2）的曲线f（x）的切线方程．【解答】解：设切点坐标为（x0，x02﹣5x0+7），∵f′（x0）＝2x0﹣5，∴切线方程为y﹣2＝（2x0﹣5）（x﹣1），又切线过点（x0，x02﹣5x0+7），∴x02﹣5x0+7﹣2＝（2x0﹣5）（x0﹣1），整理得x02﹣2x0＝0，解得x0＝2或x0＝0，∴经过A（1，2）的曲线f（x）的切线方程为x+y﹣3＝0或5x+y﹣7＝0．2．已知直线y＝x+1与曲线y＝ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0＝x0+1，y0＝ln（x0+a），又∵𝑦′|𝑥=𝑥0=1𝑥0+𝑎=1∴x0+a＝1∴y0＝0，x0＝﹣1∴a＝2．故选：B．3．已知曲线C：f（x）＝x3﹣ax+a，若过曲线C外一点A（1，0）引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为（）A．278B．﹣2C．2D．−278【解答】解：由f（x）＝x3﹣ax+a，得f′（x）＝3x2﹣a，设切点为(𝑥0，𝑥03−𝑎𝑥0+𝑎)，∴𝑓′(𝑥0)=3𝑥02−𝑎，∴过切点的切线方程为𝑦−𝑥03+𝑎𝑥0−𝑎=(3𝑥02−𝑎)(𝑥−𝑥0)，∵切线过点A（1，0），∴−𝑥03+𝑎𝑥0−𝑎=(3𝑥02−𝑎)(1−𝑥0)，解得：x0＝0或𝑥0=32．∴f′（0）＝﹣a，𝑓′(32)=274−𝑎，由两切线倾斜角互补，得﹣a=𝑎−274，∴a=278．故选：A．题型三.已知切线求参数的取值范围1．函数f（x）＝ax2−13x3（x＞0）的图象存在与直线x﹣y+2＝0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：f′（x）＝2ax﹣x2，（x＞0）．由题意，只需f′（x）＝2ax﹣x2＝1，（x＞0）有解，则只需y＝f′（x）（x＞0）的值域中包含1即可．当a≤0时，f′（x）＜0，显然不符合题意；当a＞0时，f′（x）的开口向下，在对称轴x=1𝑎处取得最大值，故𝑓′(1𝑎)=2𝑎⋅1𝑎−1𝑎2≥1，即a2≥1，结合a＞0得，a≥1即为所求．故选：B．2．已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•ex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：设切点为（m，mem），y＝x•ex的导数为y′＝（x+1）ex，可得切线的斜率为（m+1）em，则切线方程为y﹣mem＝（m+1）em（x﹣m），切线过点A（a，0）代入得﹣mem＝（m+1）em（a﹣m），可得a=𝑚2𝑚+1，即方程m2﹣ma﹣a＝0有两个解，则有△＝a2+4a＞0可得a＞0或a＜﹣4．即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．故选：A．3．已知函数y=12𝑥2的图象在点(𝑥0，12𝑥02)处的切线为直线l，若直线l与函数y＝lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足条件（）A．0＜x0＜1B．1＜x0＜√2C．√2＜𝑥0＜√3D．√3＜𝑥0＜2【解答】解：函数y=12x2的导数为y′＝x，在点（x0，12x02）处的切线的斜率为k＝x0，切线方程为y−12x02＝x0（x﹣x0），设切线与y＝lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，即有y＝lnx的导数为y′=1𝑥，可得x0=1𝑚，切线方程为y﹣lnm=1𝑚（x﹣m），令x＝0，可得y＝lnm﹣1=−12x02，由0＜m＜1，可得x0＞1，且x02＞2，解得x0＞√2，由m=1𝑥0，可得x02﹣2lnx0﹣2＝0，令f（x）＝x2﹣2lnx﹣2，x＞√2，f′（x）＝2x−2𝑥＞0，f（x）在（√2，+∞）上递增，且f（√3）＝3﹣ln√3−2＜0，f（2）＝4﹣ln2﹣2＞0，则有x02﹣2lnx0﹣2＝0的根x0∈（√3，2）．故选：D．题型四.距离最值问题1．若点P是函数f（x）＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2＝0的最小距离为√2．【解答】解：设x﹣y+m＝0与函数f（x）＝x2﹣lnx的图象相切于点P（x0，y0）．f′（x）＝2x−1𝑥，则2𝑥0−1𝑥0=1，x0＞0，解得x0＝1．∴y0＝1，∴点P（1，1）到直线x﹣y﹣2＝0的距离为最小距离d=|1−1−2|√2=√2，故答案为：√2．2．（2012·全国）设点P在曲线𝑦=12𝑒𝑥上，点Q在曲线y＝ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．√2(1−𝑙𝑛2)C．1+ln2D．√2(1+𝑙𝑛2)【解答】解：∵函数𝑦=12𝑒𝑥与函数y＝ln（2x）互为反函数，图象关于y＝x对称，函数𝑦=12𝑒𝑥上的点𝑃(𝑥，12𝑒𝑥)到直线y＝x的距离为𝑑=|12𝑒𝑥−𝑥|√2，设g（x）=12𝑒𝑥−𝑥（x＞0），则g′（x）=12𝑒𝑥−1，由g′（x）=12𝑒𝑥−1≥0可得x≥ln2，由g′（x）=12𝑒𝑥−1＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x＝ln2时，函数g（x）min＝1﹣ln2，𝑑𝑚𝑖𝑛=1−𝑙𝑛2√2，由图象关于y＝x对称得：|PQ|最小值为2𝑑𝑚𝑖𝑛=√2(1−𝑙𝑛2)．故选：B．题型五.公切线问题1．设函数𝑓(𝑥)=𝑝(𝑥−1𝑥)−2𝑙𝑛𝑥，𝑔(𝑥)=2𝑒𝑥．若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；【解答】解：∵f′（x）＝p+𝑝𝑥2−2𝑥，∴f’（1）＝2（p﹣1），设直线l：y＝2（p﹣1）（x﹣1），∵l与g（x）图象相切，∴y＝2（p﹣1）（x﹣1），得（p﹣1）（x﹣1）=𝑒𝑥，即（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e＝0，y=2𝑒𝑥当p＝1时，方程无解；当p≠1时由△＝（p﹣1）2﹣4（p﹣1）（﹣e）＝0，得p＝1﹣4e，综上，p＝1﹣4e2．若直线y＝kx+b是曲线y＝lnx+2的切线，也是曲线y＝ln（x+1）的切线，则b＝1﹣ln2．【解答】解：设y＝kx+b与y＝lnx+2和y＝ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=1𝑥1=1𝑥2+1，得x1＝x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得{𝑘𝑥1+𝑏=𝑙𝑛𝑥1+2𝑘𝑥2+𝑏=𝑙𝑛(𝑥2+1)联立上述式子解得{𝑘=2𝑥1=12𝑥2=−12；从而kx1+b＝lnx1+2得出b＝1﹣ln2．3．若存在a＞0，使得函数f（x）＝6a2lnx+4ax与g（x）＝x2﹣b在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（）A．1𝑒2B．12𝑒2C．13𝑒2D．3𝑒2【解答】解：设公共点为（x，y），（x＞0），且𝑓′(𝑥)=6𝑎2𝑥+4𝑎，𝑔′(𝑥)=2𝑥．所以{6𝑎2𝑙𝑛𝑥+4𝑎𝑥=𝑥2−𝑏①6𝑎2𝑥+4𝑎=2𝑥②（a＞0），由②得x2﹣2ax﹣3a2＝0，解得x＝3a或﹣a（舍）．将x＝3a代入①式整理得：b＝﹣3a2﹣6a2ln（3a），（a＞0）令h（a）＝﹣3a2﹣6a2ln（3a），（a＞0），∴ℎ′(𝑎)=−6𝑎−[12𝑎𝑙𝑛(3𝑎)+6𝑎2×33𝑎]=−12a[ln（3a）+1]，令h′（a）＝0得，𝑎=13𝑒，且𝑥∈(0，13𝑒)时，ℎ′(𝑎)＞0；𝑥∈(13𝑒，+∞)时，h′（a）＜0．故h（a）在（0，13𝑒）上递增，在（13𝑒，+∞）上递减．故h（a）max＝h（13𝑒）=13𝑒2．故b的最大值为13𝑒2．故选：C．课后作业.切线1．函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（）A．0B．𝜋2C．𝜋3D．𝜋4【解答】解：函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为（1𝑥2+1•2x）|x＝1＝1，设函数f（x）＝ln（x2+1）的图象在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为θ，则tanθ＝1，∴θ=𝜋4，故选：D．2．已知：过点M（m，0）可作函数f（x）＝x2﹣2x+t图象的两条切线l1，l2，且l1⊥l2，则t＝（）A．1B．54C．32D．2【解答】解：设切点为（n，n2﹣2n+t），∵f′（x）＝2x﹣2，故切线斜率为2n﹣2．所以切线方程：y﹣（n2﹣2n+t）＝（2n﹣2）（x﹣n），将（m，0）代入整理得：n2﹣2m