高中数学-两条直线的位置关系-专题练习

第1页（共14页）高中数学先修课程两条直线的位置关系专题练习一．填空题（共12小题）1．两条直线y=kx+2k+1和x+2y﹣4=0的交点在第四象限，则k的取值范围是_．2．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为．3．直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是．4．点P（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是．5．两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离是．6．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a=，若l1∥l2，则l1与l2的距离为．7．已知a∈R，直线l：（a﹣1）x+ay+3=0，则直线l经过的定点的坐标为．8．已知点A（8，﹣5）、B（0，10），则|AB|=．9．已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x﹣y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为．10．已知直线l1：x﹣2y﹣4=0和l2：x+3y+6=0，则直线l1和l2的交点为．11．若在直线y=x上存在点P，P到点A（﹣m，0）与到点B（m，0）（m＞0）的距离之差为2，则实数m的取值范围为．12．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是．二．解答题（共8小题）13．（1）求直线3x﹣2y+1=0和x+3y+4=0的交点坐标．（2）求通过上述交点，并同直线x+3y+4=0垂直的直线方程．第2页（共14页）14．求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程：（1）经过原点；（2）与直线2x+y+5=0平行；（3）与直线2x+y+5=0垂直．15．已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l1：3x﹣2y+3=0和直线l2：2x﹣y+2=0的交点．（1）求l1与l2的交点C的坐标；（2）求△ABC的面积．16．已知直线l的方程为：（2+m）x+（1﹣2m）y+（4﹣3m）=0．（1）求证：不论m为何值，直线必过定点M；（2）过点M引直线l1，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求l1的方程．第3页（共14页）17．求过直线l1：x﹣2y+3=0与直线l2：2x+3y﹣8=0的交点，且到点P（0，4）的距离为1的直线l的方程．18．已知直线l的方程为2x﹣y+1=0（Ⅰ）求过点A（3，2），且与直线l垂直的直线l1方程；（Ⅱ）求与直线l平行，且到点P（3，0）的距离为的直线l2的方程．19．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．第4页（共14页）20．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（﹣3，﹣1），并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．求：（1）d的变化范围；（2）当d取最大值时两条直线的方程．第5页（共14页）参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．两条直线y=kx+2k+1和x+2y﹣4=0的交点在第四象限，则k的取值范围是_﹣＜k＜﹣．【考点】两条直线的交点坐标．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】联立方程组可直接求出交点坐标，令交点的横坐标大于0，综坐标小于0，解不等式组即可．【解答】解：联立，解得x=，y=．由两直线y=kx+2k+1与x+2y﹣4=0交点在第四象限可得：＞0，＜0．解此不等式组可得﹣＜k＜﹣，∴k的取值范围为﹣＜k＜﹣．【点评】本题考查两条直线的交点坐标，解方程组和不等式组是解决问题的关键，属基础题．2．过点P（3，﹣1）引直线，使点A（2，﹣3），B（4，5）到它的距离相等，则这条直线的方程为4x﹣y﹣13=0或x=3．【考点】两点间距离公式的应用．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】根据题意，求出经过点P且与AB平行的直线方程和经过P与AB中点C的直线方程，即可得到满足条件的直线方程．【解答】解：由题意，所求直线有两条，其中一条是经过点P且与AB平行的直线；另一条是经过P与AB中点C的直线．∵A（2，﹣3），B（4，5），∴AB的斜率k==4，可得经过点P且与AB平行的直线方程为y+1=4（x﹣3），化简得4x﹣y﹣13=0，又∵AB中点为C（3，1）∴经过PC的直线方程为x=3，故答案为：4x﹣y﹣13=0或x=3．【点评】本题给出点A、B，求经过点P且与A、B距离相等的直线方程，着重考查了直线的斜率与直线方程等知识，属于基础题和易错题．第6页（共14页）3．直线l经过点P（﹣2，1）且点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，则直线l的方程是或．【考点】点到直线的距离公式．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；kx﹣y+2k+1=0，则=1，由此能求出直线l的方程．【解答】解：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l；y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+2k+1=0，∵点A（﹣2，﹣1）到直线l的距离等于1，∴=1，解得k=，∴直线l的方程为：或．故答案为：或．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．4．点P（1，﹣1）到直线x﹣y+1=0的距离是．【考点】点到直线的距离公式．菁优网版权所有【分析】直接应用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：由点到直线的距离公式可得：．故答案为：【点评】本题考查点到直线的距离公式，是基础题．5．两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0间的距离是．【考点】两条平行直线间的距离．菁优网版权所有【专题】计算题；直线与圆．【分析】通过直线的平行求出a，然后利用两条平行线之间的距离求解即可．【解答】解：因为两条平行直线3x+4y﹣12=0与ax+8y+11=0，所以a=6，由两条平行线之间的距离公式可得：=．故答案为：【点评】本题考查两条平行线之间的距离公式的应用，考查计算能力．第7页（共14页）6．已知直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0，若l1⊥l2，则a=，若l1∥l2，则l1与l2的距离为．【考点】两条平行直线间的距离；直线的一般式方程与直线的平行关系．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】利用两条直线平行与垂直的充要条件即可得出．【解答】解：①当a=1时不满足条件，当a≠1时，∵l1⊥l2，∴=﹣1，解得a=．②∵l1∥l2，∴，解得a=2或﹣1，a=2时两条直线重合，舍去．∴a=﹣1，两条直线分别化为：x﹣2y﹣6=0，x﹣2y=0，∴l1与l2的距离为==．故答案分别为：，．【点评】本题考查了两条直线平行与垂直的充要条件、斜率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知a∈R，直线l：（a﹣1）x+ay+3=0，则直线l经过的定点的坐标为（3，﹣3）．【考点】恒过定点的直线．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】把直线的方程化为m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0的形式，再令m的系数等于零，即可求得定点的坐标．【解答】解：直线l：（a﹣1）x+ay+3=0，即a（x+y）+（﹣x+3）=0，令x+y=0，可得﹣x+3=0，求得x=3，y=﹣3，故直线l经过的定点的坐标为（3，﹣3），故答案为：（3，﹣3）．【点评】本题主要考查直线过定点问题，利用了m（ax+by+c）+（a′x+b′y+c′）=0经过直线ax+by+c=0和直线a′x+b′y+c′=0的交点，属于基础题．8．已知点A（8，﹣5）、B（0，10），则|AB|=17．【考点】两点间距离公式的应用．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】根据两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：∵A（8，﹣5）、B（0，10），∴|AB|====17，故答案为：17【点评】本题主要考查平面内两点间的距离的计算，根据距离公式是解决本题的关键．9．已知三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x﹣y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数a的值为﹣1．第8页（共14页）【考点】两条直线的交点坐标．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】由已知可得直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2x﹣y=10的交点，求出即可．【解答】解：由三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x﹣y=10中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则直线ax+2y+8=0必经过4x+3y=10和2x﹣y=10的交点．联立解得，把x=4，y=﹣2代入ax+2y+8=0得a=﹣1．故答案为﹣1．【点评】正确理解题意是解题的关键．10．已知直线l1：x﹣2y﹣4=0和l2：x+3y+6=0，则直线l1和l2的交点为（0，﹣2）．【考点】两条直线的交点坐标．菁优网版权所有【专题】直线与圆．【分析】联立直线l1和l2的方程解得即可．【解答】解：联立，解得．∴直线l1和l2的交点为（0，﹣2）．故答案为：（0，﹣2）．【点评】本题考查了两条直线的交点问题，属于基础题．11．若在直线y=x上存在点P，P到点A（﹣m，0）与到点B（m，0）（m＞0）的距离之差为2，则实数m的取值范围为．【考点】两点间的距离公式．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】由已知，P与O不重合，P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，即是说，P应是双曲线与直线在第一象限的交点．问题转化为直线与双曲线相交满足的条件，利用相应的方程组有解解决．【解答】解：易知当P与O重合时，|PA|=|PB|，不合题意．P与O不重合时，P，A，B三点构成三角形，|PA|﹣|PA|＜|AB|=2m，∴m＞1，由双曲线的定义，P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且双曲线方程为①与直线方程y=x②联立．若在直线y=x上存在点P，方程组有正数解解．①②消去得，并化简整理得x2=＞0，∴m2＞2，解得：m故答案为：【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系，双曲线的定义，方程组的解法，以及分析解决问题、计算的能力、数形结合的思想方法．第9页（共14页）12．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是．【考点】恒过定点的直线．菁优网版权所有【专题】压轴题；转化思想．【分析】对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点，则与m，n的取值无关，则将方程转化为（x+12y）m+（x﹣2）n=0，让m，n的系数为零即可．【解答】解：方程（m+n）x+12my﹣2n=0可化为（x+12y）m+（x﹣2）n=0∵对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点∴∴故定点坐标是【点评】本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解．二．解答题（共8小题）13．（1）求直线3x﹣2y+1=0和x+3y+4=0的交点坐标．（2）求通过上述交点，并同直线x+3y+4=0垂直的直线方程．【考点】两条直线的交点坐标；两条直线垂直的判定；直线的一般式方程．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）联立方程组直接求出交点坐标；（2）求出与直线x+3y+4=0垂直的直线的斜率，然后求出直线方程．【解答】解：（1）根据题意有，，解得交点坐标（﹣1，﹣1）（2）根据题意，所求直线的斜率为3所求直线方程为y+1=3（x+1），即3x﹣y+2=0．【点评】本题考查两条直线的交点坐标，两条直线垂直的判定，直线的一般式方程，考查计算能力，是基础题．14．求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程：（1）经过原点；（2）与直线2x+y+5=0平行；（3）与直线2x+y+5=0垂直