【新高考复习】人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练4　利用导数研究函数的单调性、极值与最值

专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与最值一、单项选择题1.(2021·浙江丽水联考)若函数f(x)=(x-a)3-3x+b的极大值是M,极小值是m,则M-m的值()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关2.(2021·山东青岛期末)若函数f(x)=x2-ax+lnx在区间(1,e)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.[3,e2+1]D.[-e2+1,3]3.(2021·陕西西安月考)已知函数f(x)=,则下列关于函数f(x)的说法正确的是()A.在区间(-∞,+∞)上单调递增B.在区间(-∞,1)上单调递减C.有极大值,无极小值D.有极小值,无极大值4.(2021·湖南岳阳期中)已知直线y=kx(k0)和曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,e)B.(0,e)C.(0,1)∪(1,e)D.(-∞,0)∪(1,e)5.(2021·湖北十堰二模)已知函数f(x)=2x3+3mx2+2nx+m2在x=1处有极小值,且极小值为6,则m=()A.5B.3C.-2D.-2或56.(2021·四川成都二模)已知P是曲线y=-sinx(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为()A.B.C.D.7.(2021·湖北荆门期末)已知曲线y=+1(x≥0)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()A.y=x-1B.y=xC.y=x+1D.y=x+2二、多项选择题8.(2021·广东湛江一模)已知函数f(x)=x3-3lnx-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为x轴C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调9.(2021·山东淄博二模)已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中错误的是()A.ln2B.ln3C.lnπD.10.(2021·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)={--若关于x的方程f(x)=m恰有两个不同的根x1,x2(x1x2),则(x2-x1)f(x2)的取值可能是()A.-3B.-1C.0D.2三、填空题11.(2021·福建三明二模)已知曲线y=lnx+ax与直线y=2x-1相切,则a=.12.(2021·江苏无锡月考)试写出实数a的一个取值范围,使函数f(x)=-有极值.13.(2021·四川成都月考)设函数f(x)=ex-2x,直线y=ax+b是曲线y=f(x)的切线,则2a+b的最大值是.四、解答题14.(2021·山东潍坊二模)已知函数f(x)=的单调递增区间是[0,1],极大值是.(1)求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;(2)若存在非零实数x0,使得f(x0)=1,求f(x)在区间(-∞,m](m0)上的最小值.15.(2021·河北唐山期末)已知函数f(x)=aex-x-1(a∈R),g(x)=x2.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a0时,若曲线C1:y1=f(x)+x+1与曲线C2:y2=g(x)存在唯一的公切线,求实数a的值.16.(2021·浙江嘉兴月考)已知f(x)=a2lnx-ax2-(a2-a)x(a≠0).(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.专题突破练4利用导数研究函数的单调性、极值与最值1.C解析:因为f(x)=(x-a)3-3x+b,所以f'(x)=3(x-a)2-3,令f'(x)=3(x-a)2-3=0,得x=a-1或x=a+1,判断可得函数的极大值M=f(a-1)=-1-3(a-1)+b=2-3a+b,极小值m=f(a+1)=1-3(a+1)+b=-2-3a+b,因此M-m=4.故选C.2.B解析:依题意f'(x)=2x-a+≥0在区间(1,e)上恒成立,即a≤2x+在区间(1,e)上恒成立,令g(x)=2x+(1xe),则g'(x)=2--√√-0,所以g(x)在区间(1,e)上单调递增,而g(1)=3,所以a≤3,即实数a的取值范围是(-∞,3].故选B.3.C解析:由题意得函数f(x)的定义域为R,f'(x)=-.令f'(x)=0,得x=1,当x1时,f'(x)0,f(x)单调递增;当x1时,f'(x)0,f(x)单调递减,故f(1)是函数f(x)的极大值,也是最大值,且f(1)=,函数f(x)无极小值.故选C.4.A解析:设直线y=kx(k0)与曲线f(x)=x-alnx(a≠0)相切于点P(x0,x0-alnx0)(x00).由题意得,f'(x)=1-,则以P为切点的切线方程为y-x0+alnx0=1-(x-x0),因为该切线过原点,所以-x0+alnx0=1-(-x0),因此lnx0=1,即x0=e,所以k=1-0,得ae,又a≠0,故实数a的取值范围是(-∞,0)∪(0,e).故选A.5.A解析:f'(x)=6x2+6mx+2n.因为f(x)在x=1处有极小值,且极小值为6,所以{即{解得{-或{-当m=5,n=-18时,f'(x)=6x2+30x-36=6(x+6)(x-1),则f(x)在区间(-∞,-6)上单调递增,在区间(-6,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,且极小值为f(1)=6.当m=-2,n=3时,f'(x)=6x2-12x+6=6(x-1)2≥0,则f(x)在R上单调递增,f(x)无极值.综上可得,m=5,n=-18.6.C解析:如图所示,要使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sinx(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行,对函数y=-sinx求导得y'=-cosx,令y'=,可得cosx=-,由于0≤x≤π,所以x=.故选C.7.C解析:由题得y'=--.设切点为(x0,y0)(x0≥0),则y'-,由y'=1,得=cosx0-sinx0.令f(x)=ex-cosx+sinx(x≥0),则f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+√sinx+,当0≤x1时,f'(x)0,当x≥1时,ex≥e,√sin()≥-√,f'(x)0,所以∀x≥0,f'(x)0,所以f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则f(x)≥f(0)=0,所以方程=cosx0-sinx0只有一个实根x0=0,所以y0=+1=1,故切点为(0,1),切线斜率为1,所以切线方程为y=x+1.8.BC解析:函数f(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+∞),f'(x)=3x2-(x3-1).令f'(x)=(x3-1)=0,得x=1,列表得:x(0,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)单调递减单调递增所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于B,由f(1)=0及f'(1)=0,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-0=0(x-1),即y=0,故B正确,故选BC.9.ACD解析:令f(x)=lnx-,x0,则f'(x)=,令f'(x)=0,得x=e,当0xe时,f'(x)0,当xe时,f'(x)0,所以f(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,故f(x)max=f(e)=lne-=0,则f(2)=ln2-0得ln2,故A错误;f(3)=ln3-0得ln3,故B正确;f(π)=lnπ-0得lnπ,故C错误;对于D项,令g(x)=,x0,则g'(x)=-,当0xe时,g'(x)0,当xe时,g'(x)0,所以g(x)在区间(0,e)上单调递增,在区间(e,+∞)上单调递减,则g(3)g(π),得,即,故D错误.故选ACD.10.BC解析:画出函数f(x)的图象,如图,因为f(x)=m的两根为x1,x2(x1x2),所以x1=-,x2=em+1,m∈(-1,0],从而(x2-x1)·f(x2)=em+1--m=mem+1-+m.令g(x)=xex+1-x2+x,x∈(-1,0],则g'(x)=(x+1)ex+1-x+1.因为x∈(-1,0],所以x+10,ex+1e0=1,-x+10,所以g'(x)0,从而g(x)在区间(-1,0]上单调递增.又g(0)=0,g(-1)=-,所以g(x)∈-,0,即(x2-x1)·f(x2)的取值范围是-,0,故选BC.11.1解析:由题意得函数y=lnx+ax的定义域为x0,y'=+a.设曲线y=lnx+ax与直线y=2x-1相切于点P(x0,y0),可得+a=2,即ax0=2x0-1①,y0=lnx0+ax0,y0=2x0-1,所以lnx0+ax0=2x0-1②,联立①②,可得x0=1,a=1.12.(-√√)(答案不唯一)解析:f(x)=-的定义域为R,f'(x)=-,由于函数f(x)=-有极值,所以f'(x)=-有变号零点,因此由cosx-sinx+a=0,即a=sinx-cosx=√sinx-,可得a∈(-√√),答案只要为(-√√)的子集都可以.13.e2-4解析:f'(x)=ex-2.设切点为(t,f(t)),则f(t)=et-2t,f'(t)=et-2,所以切线方程为y-(et-2t)=(et-2)(x-t),即y=(et-2)x+et(1-t),所以a=et-2,b=et(1-t),则2a+b=-4+3et-tet.令g(t)=-4+3et-tet,则g'(t)=(2-t)et.当t2时,g'(t)0,g(t)在区间(2,+∞)上单调递减;当t2时,g'(t)0,g(t)在区间(-∞,2)上单调递增,所以当t=2时,g(t)取最大值g(2)=-4+3e2-2e2=-4+e2,即2a+b的最大值为e2-4.14.解(1)因为f(x)=,所以f'(x)=---.因为ex0,所以f'(x)≥0的解集与-ax2+(2a-b)x+b-c≥0的解集相同,且同为[0,1].所以{---解得a=b=c.所以f(x)=(a0),f'(x)=-(a0).因为a0,所以当x0或x1时,f'(x)0,函数f(x)单调递减,当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数f(x)单调递增,且f'(1)=0,所以f(x)在x=1处取得极大值,又由题知,极大值为,所以f(1)=,解得a=1,所以a=b=c=1.所以f(x)=,f'(x)=-.所以f(-1)=-=e,f'(-1)=--=-2e.所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y-e=-2e(x+1),即y=-2ex-e.(2)由(1)知函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,1)上单调递增,且f(0)==1,所以满足f(x0)=1(x0≠0)的x0∈(1,+∞).所以当0m≤x0时,由函数f(x)的单调性易知,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(0)=1;当mx0时,f(m)f(x0)=f(0)=1,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为f(m)=.综上所述,f(x)在区间(-∞,m]上的最小值为{15.解(1)f'(x)=aex-1.当a≤0时,f'(x)0恒成立,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减.当a0时,由f'(x)=0,得x=-lna.当x-lna时,f'(x)0,f(x)单调递减;当x-lna时,f'(x)0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在区间(-∞,+∞)上单调递减;当a0时,f(x)在区间(-∞,-lna)上单调递减,在区间(-lna,+∞)上单调递增.(2)因为曲线C1:y1=aex与曲线C2:y2=x2存在唯一的公切线,设该公切线与曲线C1,C2分别切于点(x1,a),(x2,),显然x1≠x2.由于y1'=aex,y2'=2x,所以a=2x2=--,因此2x2x1-2=a=2x2-,所以2x