【新高考复习】考向18 同角三角函数的基本关系与诱导公式（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点

考向18同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·全国高考真题）若tan2，则sin1sin2sincos（）A．65B．25C．25D．65【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sincos)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan2即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：22sinsincos2sincossin1sin2sinsincossincossincos2222sinsincostantan422sincos1tan145．故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan2，求出sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．2．（2021·江苏高考真题）已知5cos213，且,22，则tan9的值是_________.【答案】512【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.【详解】55cossin21313，因为,22，所以,02，所以212cos1sin13，所以sinθ5tanθcosθ12==-，所以5tan9tan12.故答案为：512.1.同角三角函数关系在解题中的应用(1)利用方程思想，对于sinα，cosα，tanα，由公式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα，可以“知一求二”．对于sinα±cosα，sinαcosα，由下面三个关系式(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，可以“知一求二”．(2)sinα，cosα的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式，或含有sin2α，cos2α及sinαcosα的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“sin2α＋cos2α＝1”代换后转化为“切”求解．2.诱导公式及应用(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一名，统一角，同角名少为终了．(2)学会诱导公式的逆用，如sinα＝sin(π－α)，cosα＝－cos(π－α)等，再如y＝sinπ3－x＝sinx＋2π3，能将y＝sinπ3－x中x的系数由负变正，且不改变“正弦”前面的符号．(3)学会观察两角之间的关系，看看它们的和或差是否为π2的整数倍．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；(2)商数关系：tanα＝sinαcosα.平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋π2(k∈Z)．2．诱导公式一二三四五六2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－απ2＋αsinα－sinα－sinαsinαcosαcos_αcosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinαtanαtanα－tanα－tan_α诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·π2＋αk∈Z”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·π2＋αk∈Z”中，将α看成锐角时，“k·π2＋αk∈Z”的终边所在的象限.【知识拓展】同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosαα≠π2＋kπ，k∈Z.1．（2021·陕西高三其他模拟（理））设α是第一象限角，满足62sincos442，则tan（）A．1B．2C．3D．332．（2020·江苏高三一模）已知0,2，2sin2cos21，则3cos2（）A．15B．55C．255D．553．（2021·全国高三其他模拟（文））已知角0,4，,2，若3sin35，1cos32，则cos___________.4．（2021·江苏扬州中学高三其他模拟）已知2sin63，那么sin26______．1．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知3sin22sin2，则cos2（）A．79B．79C．13D．132．（2021·福建高三其他模拟）已知π0,2，且cos272π5sin4，则tan2（）．A．724B．247C．724D．2473．（2021·全国高三其他模拟（理））若sin37a，则cos16（）A．221aB．212aC．221aaD．a221a4．（2021·全国高三其他模拟（文））已知为第三象限角，且3cos25，则tan的值为（）A．2B．-2C．12D．125．（2021·北京高一其他模拟）sin69cos9sin21sin9°°°°（）A．32B．12C．32D．126．（2021·广东高三其他模拟）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿，”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36o的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金ABC中，512BCAC，据这些信息，可得sin126（）A．514B．514C．538D．25147．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若5cos513，则7sin10（）A．513B．1213C．1213D．5138．（2021·全国高三其他模拟）设为第二象限角，若310sin10，则tan4__________．9．（2021·甘肃高三其他模拟（理））已知tan2，则22sin22cossin的值为___________.10．（2021·全国高三其他模拟（文））已知30,,sinsin232，则5sin26___________.11．（2021·浙江杭州高级中学高三其他模拟）已知,2x，则1sin223x，则cos2x________，tanx________．12．（2021·浙江高三二模）设函数()sincos2fxxx，xR.（1）求函数yfx的最小值；（2）若是锐角，()()1598ff，求sin可能值的个数.1．（2021·全国高考真题（文））若cos0,,tan222sin，则tan（）A．1515B．55C．53D．1532．（2020·全国高考真题（理））已知 π()0,，且3cos28cos5，则sin（）A．53B．23C．13D．593．（2021·全国高考真题（文））22π5πcoscos1212（）A．12B．33C．22D．324．（2017·全国高考真题（文））函数f(x)=15sin(x+3)+cos(x−6)的最大值为A．65B．1C．35D．155．（2019·江苏高考真题）已知tan2π3tan4，则πsin24的值是_____.6．（2018·全国高考真题（理））已知sincos1，cossin0，则sin__________．7．（2017·全国高考真题（文））已知π(0)2a，，tanα=2，则πcos()4=______________．8．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3,则sin_____.9．（2006·安徽高考真题（理））已知310,tancot43（Ⅰ）求tan的值；（Ⅱ）求225sin8sincos11cos822222sin2的值．10．（2013·广东高考真题（理））已知函数2cos12fxx，xR．(1)求6f的值；(2)若3cos5，3,22，求2.3f1．【答案】C【分析】用两角和与差的正弦余弦公式展开化简，可得31sincos2，结合22sincos1以及角的范围，求解sin，cos，即可计算tan.【详解】ππ2222sincossincoscossin442222，622sincos2，∴31sincos2，联立2231sincos2sincos1，∵设α是第一象限角，∴sin0，cos0，即3sin2，1cos2，∴3sin2tan31cos2.故选：C.2．【答案】B【分析】首先根据二倍角公式得到1tan2，从而得到5sin5，再利用诱导公式求解即可.【详解】22sin2cos214sincos2cos，因为0,2，所以cos0，所以1tan2.因为0,2，所以5sin5.所以35cossin25.故选：B3．【答案】43310【分析】根据,的范围确定,33的范围，然后求出cos3和sin3，将cos变形为cos33，结合两角和的余弦公式即可求解.【详解】∵0,4，,2，∴3312，2336，又3sin35，1cos032，∴2332∴2234cos1sin13355，2213sin1cos13322，∴coscos33coscossinsin33334133525243310.故答案为：43310.4．【答案】59【分析】由已知等式结合诱导公式变形，再利用二倍角的余弦公式进行化简即可求解．【详解】因2sin()63，则sin(2)cos[(2)]cos(2)62632cos[2()]12sin()6645199.故答案为：591．【答案】A【分析】由诱导公式，同角间的三角函数关系式得tan，然后由二倍角公式，利用同角关系式化为关于sin,cos的二次齐次式，