【新高考复习】考向19 三角函数的图象和性质（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高

考向19三角函数的图象和性质1.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数7sin6fxx单调递增的区间是（）A．0,2B．,2ππC．3,2D．3,22【答案】A【分析】解不等式22262kxkkZ，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sinyx的单调递增区间为22,22kkkZ，对于函数7sin6fxx，由22262kxkkZ，解得22233kxkkZ，取0k，可得函数fx的一个单调递增区间为2,33，则20,,233，2,,233，A选项满足条件，B不满足条件；取1k，可得函数fx的一个单调递增区间为58,33，32,,233且358,,233，358,2,233，CD选项均不满足条件.故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成sinyAωxφ形式，再求sinyAωxφ的单调区间，只需把x看作一个整体代入sinyx的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．2．（2021·浙江高考真题）设函数sincos(R)fxxxx.（1）求函数22yfx的最小正周期；（2）求函数()4yfxfx在0,2上的最大值.【答案】（1）；（2）212.【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得1sin2yx，再由三角函数最小正周期公式即可得解；（2）由三角恒等变换可得2sin242yx，再由三角函数的图象与性质即可得解.【详解】（1）由辅助角公式得()sincos2sin4fxxxx，则2223332sin2sin1cos21sin22442yfxxxxx，所以该函数的最小正周期22T;（2）由题意，2sin2sin2sinsin444yfxfxxxxx2222sinsincos2sin2sincos22xxxxxx1cos2222222sin2sin2cos2sin22222242xxxxx，由0,2x可得32,444x，所以当242x即38x时，函数取最大值212.1.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）)sin(wxAy或)cos(wxAy，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式wxbwxacossin将已给函数化成同函.2.研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述)sin(wxAy或)cos(wxAy的形式，有时会化简为二次函数型：cxbxay22sinsin或cxbxay22coscos，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意xxcossin或的取值范围.若将已给函数化简为更高次的函数，如)sin-1)(sin1(cos)sin1(22xxxxy，则换元后可通过导数求解.如：解析式中同时含有xxcossin和xxcossin，令txxcossin，由关系式xxxxtcossin21cossin22）（得到xxcossin关于t的函数表达式.3.求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：（1）bxaysin，令xtsin，则)1,1(,tbaty；（2）cxbxaycossin，引入辅助角）（abtan，化为cxbay)sin(22；（3）cxbxaysinsin2，令xtsin，则)1,1(,2tcbtaty；（4）cxxbxxay）（cossincossin，令txxcossin，则xxxxtcossin21cossin22）（，所以cbttay)21(2；（5）dxcbxaycossin，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRxx∈R，且x≠kπ＋π2，k∈Z值域[来源:学§科§网Z§X§X§K][－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是kπ2，0(k∈Z)【知识拓展】1．（2021·甘肃省民乐县第一中学高三二模（理））已知函数sin0fxx在区间2,33上单调递增，且1fx在区间[0,2]上有且仅有一解，则的取值范围是（）A．30,4B．33,42C．15,44D．13,442．（2021·山东高三其他模拟）已知函数()=2sin(+)(0)2fxx，的图象上相邻两条对称轴的距离为3，且过点(0,3)，则需要得到函数(=)yfx的图象，只需将函数=2sinyx的图象（）A．向右平移1个单位B．向左平移1个单位C．向右平移12个单位D．向左平移12个单位3．（2021·陕西高三其他模拟（理））函数2sin213fxx，下列描述错误的是（）A．定义域是R，值域是0,3B．其图象有无数条对称轴C．712是它的一个零点D．此函数不是周期函数4．（2021·赤峰二中高三三模（理））已知函数cos22fxx，32Fxfxfx为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（）A．tan3B．fx在,aa上存在零点，则a的最小值为6C．Fx在,4上单调递增D．fx在0,2有且仅有一个极大值点1．（2021·四川高三其他模拟（理））已知函数2sincos66fxxx，则下列说法错误的是（）A．函数fx的最小正周期为B．12x是函数fx图象的一条对称轴C．函数fx的图象关于点,03中心对称D．将函数22cossingxxx的图象向右平移512个单位后得到函数fx的图象2．（2021·全国高三其他模拟（文））把函数sin3fxx的图象向左平移5π12个单位后，得到函数ygx的图象，若函数ygx是偶函数，则下列数中可能是的值的为（）A．3π4B．π3C．π6D．π43．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））将函数sin26yx的图象向左平移6个单位长度得到函数yfx的图象，下列说法正确的是（）A．fx是奇函数B．fx的周期是2C．fx的图象关于直线12x对称D．fx的图象关于点,04对称4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数2sin2cosfxxx，则（）A．fx是偶函数B．fx的最小正周期为π2C．fx在区间ππ,66上单调递减D．fx在区间π,π上有4个零点5．（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））函数sin0,0,2fxAxA的部分图象如图所示，则12f（）A．1B．12C．22D．326．（2021·福建省南安第一中学高三二模）（多选题）设()sin2cos2fxaxbx，其中,,0,abRab若()()8fxf对一切xR恒成立，则以下结论正确的是（）．A．7()08f；B．2()()36ff；C．()8fx是奇函数；D．()fx的单调递增区间是5[,]()88kkkZ；7．（2021·山西大附中高三其他模拟）（多选题）已知函数f(x)=sinx-cosx，g(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是（）A．函数f(x)的值域与函数g(x)的值域相同B．若x0是函数f(x)的极值点，则x0是函数g(x)的零点C．把函数f(x)的图象向右平移2个单位长度，就可以得到函数g(x)的图象D．函数f(x)和g(x)在区间,44上均单调递增8．（2021·广东高三其他模拟）（多选题）已知函数12coscos2fxxx是偶函数，其中0,π，则下列关于函数cos2gxx的正确描述是（）A．gx在区间ππ,123上的最小值为12B．gx的图象可由函数fx的图象向左平移π4个单位长度得到C．点π,04是gx的图象的一个对称中心；D．π0,2是gx的一个单调递增区间.9．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数2πsinsin63πxxfx(0)，若存在，3,0，对任意xR，ffxf，则的取值范围是___________.10．（2021·上海高三其他模拟）函数πtan2yx的最小正周期为___________.11．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数sinfxx(0，02)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4，且3x是一个极小值点.若把函数fx的图象向左平移0tt个单位长度后，所得函数的图象关于直线4x对称，则实数t的最小值为___________.12．（2021·辽宁实验中学高三二模）已知0,πa，6sincos2，且cossin．（1）求角的大小；（2）π,6xm，给出m的一个合适的数值使得函数2sini22snyxx的值域为1,312．1．（2021·江苏高考真题）若函数4sin03fxx的最小正周期为，则它的一条对称轴是（）A．12xB．0xC．6xD．23x2．（2021·北京高考真题）函数()coscos2fxxx，试判断函数的奇偶性及最大值（）A．奇函数，最大值为2B．偶函数，最大值为2C．奇函数，最大值为98D．偶函数，最大值为983．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为