【新高考复习】考向26 数列的概念与简单表示（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（新高

考向26数列的概念与简单表示1．（2021·全国高考真题（理））等比数列na的公比为q，前n项和为nS，设甲：0q，乙：nS是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．2．（2021·全国高考真题）已知数列na满足11a，11,,2,.nnnanaan为奇数为偶数（1）记2nnba，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式；（2）求na的前20项和.【答案】（1）122,5bb；（2）300.【分析】（1）根据题设中的递推关系可得13nnbb，从而可求nb的通项.（2）根据题设中的递推关系可得na的前20项和为20S可化为2012910210Sbbbb，利用（1）的结果可求20S.【详解】（1）由题设可得121243212,1215baabaaa又22211kkaa，2122kkaa，*()kN故2223kkaa，即13nnbb，即13nnbb所以nb为等差数列，故21331nbnn.（2）设na的前20项和为20S，则2012320Saaaa，因为123419201,1,,1aaaaaa，所以20241820210Saaaa1291091021021023103002bbbb.【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.1、已知数列的前几项求通项公式（1）常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用()1k或*11,()kkN处理．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想.（2）根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式．2、已知nS求na的一般步骤：（1）先利用11aS求出1a；（2）用1n替换nS中的n得到一个新的关系，利用1,2nnnSaSn便可求出当2n时na的表达式；（3）对1n时的结果进行检验，看是否符合2n时na的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n与2n两段来写.利用11,1,2nnnSnaSSn求通项公式时，务必要注意2n这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这两种情况能否整合在一起．已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下：（1）1()nnaafn：常用累加法，即利用恒等式121321()()()nnnaaaaaaaa求通项公式．（2）1()nnafna：常用累乘法，即利用恒等式321121nnnaaaaaaaa求通项公式．（3）1nnapaq（其中,pq为常数，0,1p）：先用待定系数法把原递推公式转化为1()nnakpak，其中1qkp，进而转化为等比数列进行求解．（4）1nnnapaq：两边同时除以1nq，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解；两边同时除以1np，然后可转化为类型1，利用累加法进行求解．（5）1nnapaqnt：把原递推公式转化为1()nnaxnypaxny，解法同类型3．（6）1rnnapa：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．（7）1nnnpaaqar：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型3，利用待定系数法进行求解．（8）1()nnaafn：易得2(1)()nnaafnfn，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．（9）1()nnaafn：易得2(1)()nnafnafn，然后分n为奇数、偶数两种情况分类讨论即可．3、数列的性质（1）数列的周期性先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．（2）数列的单调性（1）数列单调性的判断方法：①作差法：10nnaa数列{}na是递增数列；10nnaa数列{}na是递减数列；10nnaa数列{}na是常数列．②作商法：当0na时，11nnaa数列{}na是递增数列；11nnaa数列{}na是递减数列；11nnaa数列{}na是常数列．当0na时，11nnaa数列{}na是递减数列；11nnaa数列{}na是递增数列；11nnaa数列{}na是常数列．（2）数列单调性的应用：①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项．②根据11kkkkaaaa可求数列中的最大项；根据11kkkkaaaa可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对应的项的大小即可．1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}na.(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N和正整数集N的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列na的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即nafn,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.5.数列na的前n项和nS和通项na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn.6.数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列1nnaa其中n∈N＋递减数列1nnaa常数列1nnaa按其他标准分类有界数列存在正数M，使naM摆动数列na的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…【知识拓展】常见的数列的通项公式：（1）数列1，2，3，4，…的通项公式为nan；（2）数列2，4，6，8，…的通项公式为2nan；（3）数列1，4，9，16，…的通项公式为2nan；（4）数列1，2，4，8，…的通项公式为2nna；（5）数列1，12，13，14，…的通项公式为1nan；（6）数列12，16，112，120，…的通项公式为1(1)nann．1．（2021·陕西高三二模（理））已知数列na的前n项和为nS，(319)5nnan，则当nS取最小值时，n的值为（）A．5B．6C．7D．82．（2021·四川乐山市·高一期中）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n2，记数列11nnaa的前n项和为Tn，n∈N*.则使得T20的值为（）A．1939B．3839C．2041D．40413．（2021·云南高三二模（文））已知正项数列na满足12a且221120nnnnaaaa，令2527nnbna，则数列nb的前7项的和等于___________.4．（2021·内蒙古高三二模（理））已知数列na中各项是从1、0、－1这三个整数中取值的数列，nS为其前n项和，定义21nnba，且数列nb的前n项和为nT，若30301,51ST，则数列na的前30项中0的个数为_______个．1．（2020·陕西渭南市·高三二模（理））设数列na的前n项和为nS，11a，且121nnnnSSSnn*,2nNn，则22nnSn的最小值为（）A．23B．3C．2D．12．（2021·全国高三其他模拟）已知数列{an}满足1222120(1)(1)(1)nnnaaaaaL（n∈N*），则（）A．a2021＞a1B．a2021＜a1C．数列{an}是等差数列D．数列{an}是等比数列3．（2021·全国）复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（）(参考数据：1.01512≈1.2)A．0B．1200C．1030D．9004．（2021·福建省南安第一中学高三二模）设数列na的前n项和为nS，且*21nnSanN，则6a（）．A．12B．13C．16D．325．（2021·上海高三其他模拟）已知数列na的前n项和为nS，若0,1,2,3na，1nnaa，3nnaa，则100S可能的不同取值的个数为（）A．4B．6C．8D．126．（2022·全国高三专题练习）若数列{an}满足a1＝3，an＝3an﹣1+3n（n≥2），则数列{an}的通项公式an＝（）A．2×3nB．3nnC．n3nD．3nn7．（2021·江西省铜鼓中学高一月考（理））已知正项数列{}na的前n项和为nS，且11()2nnnaSa，则不超过122025111SSS的最大整数是_____________．9．（2022·全国高三专题练习）在数列na中，11a，23a，21nnaa，则2021122021aaa的值为______．10．（2021·山东高三二模）已知正项数列{}na的首项11a，前n项和为nS，且满足*114()nnnaaSnN（1）求数列{}na的通项公式：（2）设11nnnbaa数列{}nb前n和为nT，求使得2 21nnnT成立的n的最大值．11．（2021·福建高三二模）在①2111253nnnnaaaa，且0na；②12,2,3nnnSSS成等差数列，且249S；③20nnSat（t为常数）这三个条件中任选一个，补充