数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03（答案及评分标准）

数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03数学·答案及评分标准123456789101112BCCBADDBABCACADCD13．320xy14．115．32143n16．5（答案不唯一）17．【答案】(1)43(2)17250【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算cos，再由商数关系计算tan；（2）先由二倍角公式计算cos2和sin2，再代入和差角公式计算即可.【详解】（1）ππ2，2243cos1sin1()55，4sin45tan3cos35（5分）（2）由（1）得3cos5，所以2237cos22cos12()1525，24sin22sincos25，所以πππ2724172cos2cos2cossin2sin[()]4442252550（10分）18．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设111122233,,,,,AxyBxyAxy，可用点的坐标表示112112,,ABABAAkkk，根据斜率关系可得132,,yyy的关系，根据导数求出点1B处切线斜率，从而可证抛物线在点1B处切线斜率为k；．（2）设22*(,),,,N22ttttttabAaBbtpp，根据题设的共点的直线的斜率关系可得112,2ttttttbbaaab，从而可证tb、ta为等差数列，故可证1nnPP为等差数列．【详解】（1）设111122233,,,,,AxyBxyAxy则11121222121212222AByyyypkyyxxyypp，同理2112231322,ABAAppkkkyyyy．2111ABABkk，即231222ppyyyy，1322yyy，122222AAppkkyy．当0y时，2,2pypxyx，∴抛物线22ypx0p在点1222,0Bxyy处切线斜率为2222222pppkyxyp，得证．（5分）（2）设22*(,),,,N22ttttttabAaBbtpp，故直线22222:222ttttttttttttbaaapAByxaxabapbapp，令0y，则2ttabxp，故21,02tttabPp，同理12,02tttabPp．当2nt时，1111,,nnnnnnPPnnPPPPxxPPxx故11112nnnnnnnPPPPPPPxxx21212111222tttttttttPPPabababxxxp1112ttttttabbbaap，当21nt时，同理有11112ttttttnnnnbaaabbPPPPp，∵11ttttttABABABkkk，故1122222211222ttttttttttttbabababababappp，整理得到：11ttttttbababa，因此112,2ttttttbbaaab，由12tttbba可得112tttbba，故111224ttttttbbbaab，因此112tttbbb，即tb为等差数列，设其公差为1d．而11ttttbbaa，故11ttaad，其中2t．又直线21111112:2apAByxaabp，因该直线过,02p，故211112022appaabp，解得211pba，故22111122pabaaa，∴2222211111143222pppbabaaaaa，故222111111222ppaaaaaaa，而222211111113222pppbbaadaaa，故211aad，∴ta为等差数列，设其公差为1d．故11111,1ttaatdbbtd，故当2nt时，111111122ttttnnnndbadabdPPPPpp111111111122dbtdatddbdapp，该数为常数．当21nt时，1111111111122ttnnnndbtdatdbdadPPPPpp1112dbap，该数为常数，而2211111111122220ppababdaaaa，故11111ababd，故111111122dbdadbapp，故对任意的n，11nnnnPPPP为常数，故数列1nnPPnN为等差数列．（12分）19．【答案】(1)证明见解析；(2)255【分析】（1）通过勾股定理，证明出DCAC可证得DC平面PAC.（2）作AHPC，垂足为H，连结DH，证得ADH为AD与平面PCD所成的角，在AHD中求sinADH即可.【详解】（1）∵ABBC，1BC，3AB，由勾股定理得：22221(3)2ACABBC，π3ACBACD中，23CD，∵22241216ACCDAD，∴DCAC，又因为PA底面ABCD，DC底面ABCD，所以PADC，又因为ACPAA且,ACPA平面PAC，∴DC平面PAC，（6分）（2）作AHPC，垂足为H，连结DH，因为DC平面PAC，AH平面PAC，所以AHCD，又因为CDPCC＝且,CDPC平面PAC，所以AH平面PCD，所以ADH为AD与平面PCD所成的角，PAC△中，424255PAACAHPC，415sin455AHADHDA，所以直线AD与平面PCD所成角的余弦值为255.（12分）20．【答案】(1)2nSn(2)12149618nnnT(3)证明见解析【分析】（1）由已知可得23a，2d，然后即可根据等差数列的前n项和公式，即可得出答案；（2）由（1）可推得42nnnb，然后根据错位相减以及等比数列的前n项和公式，即可得出答案；（3）由（1）可推得211nSn，进而可得当2n时，211111nnnnn.裂项求和即可得出证明.【详解】（1）由已知2133aa，所以212daa，所以，2111222nnnnnSnadnn．（2分）（2）由（1）可知，12121nann，2nSn，所以2212122242nannnnnSnnbnnn，所以212444222nnnT①，231124444222nnnT②，所以①②可得21113444222nnT142nn1214362nn，所以12149618nnnT．（6分）（3）由（1）可推得211nSn.当2n时，211111nnnnn，所以12111111123341nSSSnn111111123341nn31312122nnn，12111111112231nSSSnn11111112231nnL122n，所以当2n时，1231111222nnnSSS．（12分）21．【答案】(1)2212xy(2)2【分析】（1）利用椭圆过点(0,1)B，得到1b，再由椭圆的离心率为22，求出a的值，从而求到椭圆E的标准方程；（2）对直线l的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出2ON，得到结论.【详解】（1）因为椭圆过点(0,1)B，所以1b，又22e，222abc，所以22222212cabbaaa，得到2a，所以椭圆E的标准方程为2212xy.（4分）（2）当直线斜率l存在且不为0时，设直线l的方程为(0)ykxmk，联立直线l和椭圆E的方程得2212ykxmxy，消去y并整理，得222(21)4220kxkmxm，因为直线l与椭圆E有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，2222164(21)(22)0kmkm，化简整理得2221mk因为直线MN与l垂直，所以直线MN的方程为1(1)yxk，联立得1(1)yxkykxm，解得22111kmxkkmyk，221(,)11kmkmNkk，所以22222222222222222111111111kmkmkmkmkmmONkkkk把2221mk代入上式得，222(22)2(1)kONk，所以2ON，为定值；当直线l斜率为0时，直线:1ly=±，过点(1,0)M作直线l的垂线，则垂线方程为1x，此时(1,1)N或(1,1)N，2ON，为定值；当直线l斜率不存在时，直线:2lx，过点(1,0)M作直线l的垂线，则垂线方程为0y，此时(2,0)N或(2,0)N，2ON，为定值；综上所述，2ON，为定值.（12分）22．【答案】(1)22142xy(2)306,82【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得2,2ac，即可得出椭圆C的标准方程；（2）易知,AB的轨迹是以OM为直径的圆与圆22:1Oxy的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆方程联立根据弦长公式求得OPQ△的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，12MFF△的周长为121222MFMFFFac，离心率22cea联立2222422caac，解得2a，2c，所以2222bac，即椭圆C的标准方程22142xy.（4分）（2）设点00(,)Mxy，又,AB为切点，可知,OBBMOAAM，所以,,,OABM四点共圆，即,AB在以OM为直径的圆上，则以OM为直径的圆的方程为22220000224xyxyxy，又,AB在圆22:1Oxy上，两式相减得直线AB的方程为001xxyy，如下图所示：设11,Pxy，22,Qxy，由22001421xyxxyy，消去y整理后得2222000024240xyxxxy，012220042xxxxy，20122200242yxxxy，所以2220012121200114xxxxxxxxPyQy2222220000002222222000000014241426222xyxxxyyxyxyxy，又点O到直线PQ的距离22001dxy，设OPQ△的面积为S，则22200022220000111126222xyxSPQdxyxy222000222200002612611264434311xxxxxxx20201261311xx，其中200,4x，令201tx，则1,5t