数学01-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）（解析版）

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）01数学•全解全析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合2,1,0,1A，B=21xx，则()RACB（）A.{－2，－1，1}B.{－2，0，1}C.{－2，－1}D.{－1，1}【答案】A【详解】{|11}Bxx，则|1RBxxð或1x，所以(){2,1,1}ABRð.故选：A.2．已知复数1zi，z为z的共轭复数，则1zz（）A.2B.2C.102D.10【答案】C【详解】由题：1zi，1zi，21121313122211iiziiiziii，所以10119442zz.3．已知向量(1,2),(1,3)ab，且manbb，则mn（）A.12B.12C.2D.－2【答案】D【详解】因为1,2ar，1,3b，所以,23manbmnmn，又因为manbb，所以3230manbbmnmn，化简得2mn.故选：D.4．已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(1,3]B．(1,3)C．(0,1)D．(1，＋∞)【答案】A【详解】令t(x)＝6－ax，因为a0，所以t(x)＝6－ax为减函数．又由函数f(x)＝loga(6－ax)在(0,2)上单调递减，可得函数t(x)＝6－ax0在(0,2)上恒成立，且a1，故有a1，6－2a≥0，解得1a≤3.5．椭圆221xmy的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（）A.2B.4C.12D.14【答案】D【详解】由题意可得01m，由椭圆方程可得a，b，解m的方程可得m的值.解答：椭圆221xmy的焦点在y轴上，即有01m，由椭圆方程2211yxm可得，1b，1am，由长轴长是短轴长的2倍，可得12m，解得14m；故选：D.6．已知直线:10lxay是圆C：226210xyxy的对称轴，过点A1a，作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A.1B.2C.4D.8【答案】C【详解】圆C：226210xyxy即22(3)(1)9xy，圆心为(3,1)，半径为r=3，由题意可知:10lxay过圆的圆心(3,1)，则310a，解得2a，点A的坐标为(1,2)，22435,3ACBCr，切点为B则ABBC，224ABACBC.故选:C7．等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：0q，乙：{Sn}是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【详解】当0q时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当nS是递增数列时，必有0na成立即可说明0q成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为2,4,8,时，满足0q，但是nS不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若nS是递增数列，则必有0na成立，若0q不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q成立，所以甲是乙的必要条件．故选B．8．已知sin3＋3cosα＝13，则sin26等于()A.23B.29C．－19D．－79【答案】D【解析】∵sin3＋3cosα＝13，∴sinαcosπ3－cosαsinπ3＋3cosα＝13，∴12sinα－32cosα＋3cosα＝13，∴12sinα＋32cosα＝13，∴cos6＝13，∴sin26＝sin262＝cos26＝2cos26－1＝－79.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下.则下列说法不正确的是（）猕猴桃102104106107113116119121132134柚子109113114116117121121122131132A.每100克柚子维生素C含量的众数为121B.每100克柚子维生素C含量的75%分位数为121C.每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数D.每100克猕猴桃维生素C含量的方差高于每100克柚子维生素C含量的方差【答案】BC【详解】对于A选项，每100克柚子维生素C含量的众数为121，A对；对于B选项，每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122，B错；对于C选项，每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为102104106107113116119121132134115.410，每100克柚子维生素C含量的平均数为109113114116117121121122131132119.610，C错；对于D选项，每100克猕猴桃维生素C含量的方差为222222222213.411.49.48.42.40.63.65.616.618.6114.0410，每100克柚子维生素C含量的方差为22222222210.66.65.63.62.621.42.411.412.450.0410，D对.故选：BC.10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0（单位：oC），环境温度是1（单位：oC），其中01则经过t分钟后物体的温度将满足101e(Rktftk且0k）.现有一杯80C的热红茶置于20Co的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln20.7)A．若350Cf，则635CfB．若110k，则红茶下降到50C所需时间大约为7分钟C．若35f，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C的速率下降D．红茶温度从80C下降到60C所需的时间比从60C下降到40Co所需的时间多【答案】ABC【详解】由题知2060ektft，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．由题知2060ektft，A：若350Cf，即3502060ek，所以31e2k，则2263162060e2060e206035C2kkf，A正确；B：若110k，则1102060e50t，则1101e2t，两边同时取对数得11lnln2102t，所以10ln27t，所以红茶下降到50C所需时间大约为7分钟，B正确；C：3f表示3t处的函数值的变化情况，若350f，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C的速率下降，故C正确；D:ft为指数型函数，如图，可得红茶温度从80C下降到60C所需的时间21tt比从60C下降到40Co所需的时间32tt少，故D错误.故选：ABC．11．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为fx，且xR，210fxfx，则下列结论正确的有（）A.若ab，则10fafbfafbB.若ab，则10fafbfafbC.若f(x)是增函数，则2fx是减函数D.若f(x)是减函数，则2fx是增函数【答案】BD【详解】令函数2gxfxfx，则210gxfxfx，则gx在R上单调递增．当ab时，2210gagbfafafbfbfafbfafb；当ab时，2210gagbfafafbfbfafbfafb．A不正确，B正确．2fxgxfx，gx是增函数，若fx是增函数，则2fx的单调性不确定；若fx是减函数，则2fx是增函数．C不正确，D正确．故选：BD．12．我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（）A.正方体的棱切球的半径为2B.正四面体的棱切球的表面积为2C.等长正六棱柱的棱切球的体积为43D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为712【答案】BCD【详解】正方体的棱切球的半径为正方体面对角线的一半，长度为22，故A错误；如图，四面体ABCD为棱长为1的正四面体，取AD中点E，BC中点F，连接EF，则EF为其棱切球的直径，32BECE，则22312222EF，则其棱切球的半径为24，棱切球的表面积为22442，故B正确；如图，为等长正六棱柱，其棱切球的半径为棱锥的棱长1，则其棱切球的体积为344133，故C正确；由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆，则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为2124，每一个侧面正三角形的内切圆的半径r满足31311222r，则36r，四个侧面三角形的内切圆的面积为23463，则等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为74312，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)【答案】36【详解】依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，则有11243224CCA种选派方法；②选两名男志愿者，则有224212CA种选派方法；综上可得一共有241236种选派方法；故答案为：3614．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCDEFHG，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，62BFEF，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为125，则方亭的体积为______.【答案】563【详解】由题意得12EFAB，设2EFx，则4ABx，6BFx.过点E，F在平面ABFE内分别作EMAB，FNAB，垂足分别为点M、N，在等腰梯形ABFE中，因为//EFAB，EMAB，FNAB，则四边形MNFE为矩形，所以MNEF，EMFN，则2MNEFx，因为AEBF，EMFN，90AMEBNF，所以RtRtAMEBNF≌△△，所以2ABEFAMBNx，在RtBNF△中，由勾股定理得225FNBFBNx，所以等腰梯形ABFE的面积为224535352xxSxx，所以1x.所以22EFx，44ABx，方亭的高2512h，故方亭