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2024届新高三开学摸底考试卷(全国卷)理科数学·参考答案02123456789101112BADBBACDDAAD13.0.954514.34/0.7515.243yx16.62/16217.(1)证明见解析(2)2591832nnnS【详解】(1)因为12nnnaab,12nnnbab,所以113nnnnabab,11nnnnabab,又由13a,12b得111ab,115ab,所以数列nnab是首项为5,公比为3的等比数列,数列nnab是首项为1,公比为1的等比数列.(2)由(1)得153nnnab,1(1)nnnab,所以1153(1)2nnna,1153(1)2nnnb,所以11112253(1)53(1)2531224nnnnnnnab,所以259182519419432nnnnnS.18.(1)证明见解析(2)π4【详解】(1)设BD交AC于点O,连接EO,FO,因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为ED平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACED.又EDBDD,,EDBD平面BDEF,所以AC平面BDEF;又EO平面BDEF,所以ACEO.设FB=1,由题意得ED=2,22,2BDDOBO.因为FB//ED,且ED面ABCD,则FB平面ABCD,而,OBOD平面ABCD,故OBFB,ODED,所以223OFOBBF,226EOEDDO=,22813EFBDEDBF=.因为222EFOEOF,所以EOFO.因为OFACO,,OFAC平面ACF,所以EO平面ACF.又EO平面EAC,所以平面EAC平面FAC.(2)取EF中点G,连接OG,所以OG//ED,OG底面ABCD.以O为原点,以,,OAOBOG分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,因为60BAD,由(1)中所设知,22ABAD,所以,6OAOC,所以(6,0,0),(0,2,1),(0,2,2),(6,0,0)AFEC.所以(6,2,1)FA,(6,2,2)EA,(6,2,2)EC,设平面FAE的一个法向量为(,,)mxyz,则062030622022mFAxyzxymEAxyzzy,所以(3,1,22)m;平面AEC的一个法向量为(,,)nabc,则006220206220anECabcbcnEAabc,所以(0,2,1)n;所以2322cos,2331(22)mn,由图形可知二面角FAEC的平面角为锐角,所以二面角FAEC的大小为π4.19.(1)14(2)16(3)分布列见解析,40【详解】(1)将得分为50分记为事件A;得分为50分即在六个问题的结果中,有五个满意,一个不满意,可能的结果共有:11222122212233233233CCCCCCCCCC54(种)三名顾客产生的反馈结果总共有:324216C(种)则5412164PA,∴购物中心得分为50分的概率为14(2)将顾客丙投出一个不满意记为事件B,则221233324CCC124CPAB,1124164PABPBAPA,(3)X可能的取值为2、3、4、5、6211233324CCC1224CPX,11112122212233233233324CCCCCCCCCC134CPX2221112112121123322332233233324CCCCCCCCCCCCCC5412CPX,154PX222233324CCC1624CPXX23456P12414512141241151123456424412424EX∵10X,∴1040EEX.20.(1)22184xy(2)12kk是定值,定值为16.【详解】(1)依题意,22a,(2,0)D,222c,2c,所以222844bac,所以椭圆C的标准方程为:22184xy.(2)设过点D且斜率不为0的直线方程为2xty,联立222184xtyxy,消去x并整理得22(2)2260tyty,222824(2)32480ttt,设11(,)Mxy,22(,)Nxy,则122222tyyt,12262yyt,所以1212122222yykkxx12123232yytyty122121232()18yytyytyy222262622321822tttttt22266121836ttt16.所以12kk为定值16.21.(1)250xy;(2)证明见解析【详解】(1)当0a时,3()lnfxxx,则22133()xfxxxx,所以3(1)ln131f,213(1)21f,所以()fx在点(1,(1))f处的切线方程为321yx,即250xy(2)证明:由23()ln2afxxxx,可知2233133axxafxxxxx,因为12,xx(12xx)是fx的极值点,所以12,xx方程230xxa的两个不等的正实数根,所以123xx,120xxa,则1222121211221222121212121233lnln22lnln32aaxxfxfxaxxxxxxxxxxxxxxxxxx1212lnln332xxxxaa.要证121232fxfxxxa成立,只需证1212lnln3xxxxa,即证12121212lnlnxxxxxxxx,即证22121212lnlnxxxxxx,即证112221lnxxxxxx,设12xtx,则01t,即证1lnttt,令1ln(01)httttt,则22211110tthtttt,所以ht在0,1上单调递减,则10hth,所以1lnttt,故121232fxfxxxa.22.(1)曲线1C的直角坐标方程为310xy,曲线2C的普通方程为224xy;(2)33.【详解】(1)曲线1C的极坐标方程为1sin032πρθ,即sin3cos10,则曲线1C的直角坐标方程为310xy,把参数方程平方相加得曲线2C的普通方程为224xy.(2)易知点P在直线310xy上,且该直线的斜率为3,倾斜角为π3,则曲线1C的参数方程为12312xtyt(t为参数),联立曲线1C的参数方程与曲线2C的普通方程得2330tt,设点A,B在直线310xy上对应的参数分别为1t,2t,由韦达定理可得123tt,123tt,2112121212111133ttttPAPBtttttt.23.(1)1(2)证明见解析【详解】(1)由题知1,021,0125,131,3xxxfxxxx,其函数图象如图所示,所以,min1fx.(2)由(1)可知2ab,则114ab,解法一:利用基本不等式:222211111411abababbaba2222221111214114aabbabababba,当且仅当1ab时取等号.所以,22111abba.解法二:利用柯西不等式:222211111411abababbaba1111411abbaba,当且仅当1ab时取等号.所以,22111abba.
本文标题:理科数学02-2024届新高三开学摸底考试卷(全国通用)(参考答案)
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