理科数学02-2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）（参考答案）

2024届新高三开学摸底考试卷（全国卷）理科数学·参考答案02123456789101112BADBBACDDAAD13．0.954514．34/0.7515．243yx16．62/16217．(1)证明见解析(2)2591832nnnS【详解】（1）因为12nnnaab，12nnnbab，所以113nnnnabab，11nnnnabab，又由13a，12b得111ab，115ab，所以数列nnab是首项为5，公比为3的等比数列，数列nnab是首项为1，公比为1的等比数列．（2）由（1）得153nnnab，1(1)nnnab，所以1153(1)2nnna，1153(1)2nnnb，所以11112253(1)53(1)2531224nnnnnnnab，所以259182519419432nnnnnS．18．(1)证明见解析(2)π4【详解】（1）设BD交AC于点O，连接EO，FO，因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以ACED.又EDBDD，,EDBD平面BDEF，所以AC平面BDEF；又EO平面BDEF，所以ACEO.设FB=1，由题意得ED=2，22,2BDDOBO.因为FB//ED，且ED面ABCD，则FB平面ABCD，而,OBOD平面ABCD，故OBFB，ODED，所以223OFOBBF，226EOEDDO=，22813EFBDEDBF=.因为222EFOEOF，所以EOFO.因为OFACO，,OFAC平面ACF，所以EO平面ACF.又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.（2）取EF中点G，连接OG，所以OG//ED，OG底面ABCD.以O为原点，以,,OAOBOG分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为60BAD，由（1）中所设知，22ABAD，所以，6OAOC,所以(6,0,0),(0,2,1),(0,2,2),(6,0,0)AFEC.所以(6,2,1)FA，(6,2,2)EA，(6,2,2)EC，设平面FAE的一个法向量为(,,)mxyz，则062030622022mFAxyzxymEAxyzzy，所以(3,1,22)m；平面AEC的一个法向量为(,,)nabc，则006220206220anECabcbcnEAabc，所以(0,2,1)n；所以2322cos,2331(22)mn，由图形可知二面角FAEC的平面角为锐角，所以二面角FAEC的大小为π4.19．(1)14(2)16(3)分布列见解析，40【详解】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，可能的结果共有：11222122212233233233CCCCCCCCCC54（种）三名顾客产生的反馈结果总共有：324216C（种）则5412164PA，∴购物中心得分为50分的概率为14（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则221233324CCC124CPAB，1124164PABPBAPA，（3）X可能的取值为2、3、4、5、6211233324CCC1224CPX，11112122212233233233324CCCCCCCCCC134CPX2221112112121123322332233233324CCCCCCCCCCCCCC5412CPX，154PX222233324CCC1624CPXX23456P12414512141241151123456424412424EX∵10X，∴1040EEX．20．(1)22184xy(2)12kk是定值，定值为16.【详解】（1）依题意，22a，(2,0)D，222c，2c，所以222844bac，所以椭圆C的标准方程为：22184xy.（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为2xty，联立222184xtyxy，消去x并整理得22(2)2260tyty，222824(2)32480ttt，设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则122222tyyt，12262yyt，所以1212122222yykkxx12123232yytyty122121232()18yytyytyy222262622321822tttttt22266121836ttt16.所以12kk为定值16.21．(1)250xy；(2)证明见解析【详解】（1）当0a时，3()lnfxxx，则22133()xfxxxx，所以3(1)ln131f，213(1)21f，所以()fx在点(1,(1))f处的切线方程为321yx，即250xy（2）证明：由23()ln2afxxxx，可知2233133axxafxxxxx，因为12,xx（12xx）是fx的极值点，所以12,xx方程230xxa的两个不等的正实数根，所以123xx，120xxa，则1222121211221222121212121233lnln22lnln32aaxxfxfxaxxxxxxxxxxxxxxxxxx1212lnln332xxxxaa．要证121232fxfxxxa成立，只需证1212lnln3xxxxa，即证12121212lnlnxxxxxxxx，即证22121212lnlnxxxxxx，即证112221lnxxxxxx，设12xtx，则01t，即证1lnttt，令1ln(01)httttt，则22211110tthtttt，所以ht在0,1上单调递减，则10hth，所以1lnttt，故121232fxfxxxa．22．(1)曲线1C的直角坐标方程为310xy，曲线2C的普通方程为224xy；(2)33.【详解】（1）曲线1C的极坐标方程为1sin032πρθ，即sin3cos10，则曲线1C的直角坐标方程为310xy，把参数方程平方相加得曲线2C的普通方程为224xy.（2）易知点P在直线310xy上，且该直线的斜率为3，倾斜角为π3，则曲线1C的参数方程为12312xtyt（t为参数），联立曲线1C的参数方程与曲线2C的普通方程得2330tt，设点A，B在直线310xy上对应的参数分别为1t，2t，由韦达定理可得123tt，123tt，2112121212111133ttttPAPBtttttt.23．(1)1(2)证明见解析【详解】（1）由题知1,021,0125,131,3xxxfxxxx，其函数图象如图所示，所以，min1fx.（2）由（1）可知2ab，则114ab，解法一：利用基本不等式：222211111411abababbaba2222221111214114aabbabababba，当且仅当1ab时取等号.所以，22111abba.解法二：利用柯西不等式：222211111411abababbaba1111411abbaba，当且仅当1ab时取等号.所以，22111abba.