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数学试卷(说明:本试卷考试时间为120分钟,满分为150分)命题人:曹亚林审题人:李友军第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:共8小题,每小题5分,共40分,每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的,请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上1.设S,T是两个非空集合,且STØ,TSÚ,令XST,那么SX等于()A.XB.TC.D.S【答案】D【解析】【分析】结合已知条件,利用交集和并集性质即可求解.【详解】因为XST,所以XS,故SXS.故选:D.2.i为虚数单位,则20231i1i()A.iB.iC.1D.1【答案】B【解析】【分析】根据复数除法运算法则和i的幂运算的周期性直接求解即可.【详解】202322023202320234505331i1i2iiiii1i1i1i2.故选:B.3.“21x”是“121x”成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求解给定不等式,再利用充分条件、必要条件的意义判断作答.【详解】不等式222111010||1xxxx,不等式1102122||1xxx,显然{|0||1}xx}{|||1xx“21x”是“121x”成立的充分不必要条件.故选:A4.函数2()cosln(1)fxxxx的图象大致为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】判断函数为奇函数排除AD,当0,2x时0fx,排除C得到答案.【详解】2()cosln(1)fxxxx,22()cosln(1)cosln(1)fxxxxxxxfx,函数为奇函数,排除AD.当0,2x时,cos0x,22ln(1)ln1ln10xxxx,故0fx,排除C.故选:B.【点睛】本题考查了函数图像的识别,确定函数的奇偶性是解题的关键.5.已知各项均为正数的等比数列na中,2464225aaaa,则35aa等于()A.5B.10C.15D.20【答案】A【解析】【分析】由等比数列下标和的性质求解.【详解】由题意得22224643355352+2()25aaaaaaaaaa,而na各项均为正数,则355aa,故选:A6.点P在以12,FF为焦点的椭圆221123xy上,若线段1PF的中点在y轴上,则1PF是2PF的()A.3倍B.4倍C.5倍D.7倍【答案】D【解析】【分析】根据线段1PF的中点M在y轴上,推出2PFx轴,由此可设3,Py,代入椭圆方程求出2b,再根据两点间的距离公式求出1||PF和2||PF可得解.【详解】由221123xy可知212a,23b,所以2221239cab,所以12,,,0330FF,∵线段1PF的中点M在y轴上,且原点O为线段12FF的中点,所以2//PFMO,所以2PFx轴∴可设3,Py,把3,Py代入椭圆221123xy,得234y.∴13733642PF,233042PF.∴1273||27||32PFPF故选:D.7.已知函数2log2ayaxx在区间0,1上单调递减,则a的取值范围是()A.0,1B.2,22C.2,3D.22,3【答案】C【解析】【分析】由复合函数的单调性与对数函数的性质列式求解.【详解】二次函数22yaxx在(,)2a单调递减,在(,)2a单调递增,当01a时,logayx在(0,)上单调递减,若函数2log2ayaxx在区间0,1上单调递减,则0220a,与前提条件矛盾,舍去当1a时,logayx在(0,)上单调递增,若函数2log2ayaxx在区间0,1上单调递减,则12210aa,得23a,故选:C8.过直线yx上的一点作圆22(5)(1)2xy的两条切线12ll,,当直线12ll,关于yx对称时,它们之间的夹角为()A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】【分析】过圆心M作直线l:y=x的垂线交于N点,过N点作圆的切线能够满足条件,不难求出夹角为60.【详解】圆(x-5)2+(y-1)2=2的圆心(5,1),过(5,1)与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0,它与y=x的交点N(3,3),.N到(5,1)距离是22,圆半径为2,两条切线l1,l2,它们之间的夹角为23060.故选C.二、多选题:共4个小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有两个以上是符合题目要求的,少选得2分,多选或错选得0分9.一组数据1x,2x,…,nx的平均数是3,方差为4,关于数据131x,231x,…,31nx,下列说法正确的是()A.平均数是3B.平均数是8C.方差是11D.方差是36【答案】BD【解析】【详解】代入平均数和方差公式,即可求解.【分析】1x,2x,3x,…,nx的平均数为x,方差为2s,则3x,24s,所以数据131x,231x,…,31nx的平均数为313318x,方差为22233436s.故选:BD.10.已知函数21ee2xxfxx,则满足32fafa的整数a的取值可以是()A.1B.0C.1D.2【答案】BCD【解析】【分析】由函数的单调性与奇偶性转化后求解.【详解】由题意得21()ee2xxffxxx,故fx为偶函数,而eexxfxx,当0x时,()0fx¢,故fx在(0,)单调递增,在(,0)单调递减,若32fafa,则|3||2|aa,得22344aaa,即2220aa,解得1313a故选:BCD11.设fx是R上的奇函数,且2fxfx,当01x时,lg1fxx,则()的A.31fB.fx的图像关于直线2x对称C.fx的一个周期为4D.fx在1,4上有7个零点【答案】AC【解析】【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性的定义以及函数的零点判断各选项.【详解】对于A,2fxfx,所以l31111gff,故A正确;对于C,因为2fxfx,则42fxfxfx,所以fx的一个周期为4,故C正确;对于B,因为fx是R上的奇函数,则2fxfxfx,即fx图像关于1x对称,因为周期为4,所以fx图像关于3x对称,故B错误;对于D,由fx是R上的奇函数,关于1x对称,周期为4,又当01x时,lg1fxx,令lg10x,得110x,从而作出fx在1,4上的大致图像,注意到400ff,200ff,所以fx在1,4上有8个零点,故D错误.故选:AC.12.已知长方体的表面积为10,十二条棱长度之和为16,则该长方体()A.一定不是正方体B.外接球的表面积为6πC.长、宽、高的值均属于区间1,2D.体积的取值范围为50,227【答案】ABD【解析】【分析】根据题意,设长方体的长宽高分别为,,abc,由222abcabacbc即可判断A,由2226abc即可判断B,由不等关系代入计算即可判断C,由Vabc,结合1023ab的范围,利用导数即可判断D.【详解】设长方体的长宽高分别为,,abc,则可得210416abacbcabc,即54abacbcabc,又因为2222216abcabcabacbc,所以2226abc,由不等式可得,222abcabacbc,当且仅当abc时,等号成立,而222abcabacbc,取不到等号,所以得不到abc,即该长方体一定不是正方体,故A正确;设长方体外接球的半径为R,则22226Rabc,即62R,则外接球的表面积为264π6π2,故B正确;由4abc可得,4cab,代入5abacbc可得,45ababab,即54ababab,因为,0ab,由基本不等式可得24abab,即2544ababab,设abt,则0t,则2544ttt,化简可得2316200tt,即31020tt,所以1023t,即1023ab,又因为4abc,则223c,同理可得2,,23ab,故C错误;设长方体的体积为V,则544Vabcababab,且abt,1023t,即544Vttt,其中102,3t,化简可得,2454Vttt,102,3t,且254442373Vtttttt,102,3t,令0V,则73t或3,当72,3t时,0V,即V单调递减,当7,33t时,0V,即V单调递增,当103,3t时,0V,即V单调递减,所以,当73t时,V有极小值,且7774950454333927V,当3t时,V有极大值,且34354392V,又因为24254242V,10101010050454333927V,所以50,227V,故D正确;故选:ABD【点睛】关键点睛:本题主要考查了基本不等式的应用以及利用导数解决立体几何中体积最值问题,难度较大,解决问题的关键在于将长方体的体积转化为关于长方体长宽高的函数关系,然后利用导数知识求解.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题:共4小题,每小题5分,共20分13.已知函数44logxfxx,则12f________.【答案】32##1.5【解析】【分析】由指数与对数的运算法则求解.【详解】44logxfxx,则1132222f,故答案为:3214.曲线ln2yxx过坐标原点的切线的斜率为________.【答案】e1##1e【解析】【分析】设出切点坐标,利用导数的几何意义、斜率坐标公式列式求解作答.【详解】设曲线ln2yxx过坐标原点的切线与曲线相切的切点为000(,ln2)xxx,由ln2yxx求导得11yx,于是0000ln211xxxx,整理得0ln1x,解得01ex,所以曲线ln2yxx过坐标原点的切线的斜率为011e1x.故答案为:e115.函数2211sin4cosyxx的最小值是________.【答案】94【解析】【分析】由基本不等式“1”的妙用求解.【详解】222222222222222211sincossincos5cossin5cossin92sin4cossin4cos4sin4cos4sin4cos4xxxxxxxxyxxxxxxxx当且仅当2222cossinsin4cosxxxx即2tan2x时等号
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