2019届北京市人大附中高三高考信息卷(三)数学(理)试题(解析版)

第1页共17页2019届北京市人大附中高三高考信息卷（三）数学（理）试题一、单选题1．已知全集,集合,则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】分析：由全集及，求出补集，找出集合的补集与集合的交集即可.详解：，集合，，又，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质是求满足属于集合或不属于集合的元素的集合.2．已知函数则“”是“函数在上单调递增”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由2x＝x2，x∈[0，+∞），解得x．根据函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得：a≥0．即可判断出结论．【详解】当时，f(x)在上满足f(x)=2x，单调递增,满足题意；又由2x＝x2，x∈[0，+∞），解得x＝2或4．当时，2xx2，函数f（x），函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，满足题意，但不满足∴“a≤0”是“函数f（x）在[0，+∞）上单调递增”的充分不必要条件．故选：A．第2页共17页【点睛】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与数形结合方法，属于基础题．3．已知函数,若存在,使得,则a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，使得f（x1）＝g（x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【详解】当x≤2时，log2f（x）≤log22，即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]，当x≤2时，2a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故选：A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．第3页共17页4．在三角形ABC中,,则（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】根据正弦定理求解.【详解】由正弦定理得或，选D.【点睛】本题考查正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.5．若复数,当时,则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】由题，先求出，即可得复数，求得在复平面所对应的点的坐标，可得答案.【详解】由题，当时,所以复数在复平面所对应的点为在第三象限故选C【点睛】本题考查了复数的知识，求得三角函数值和复数的性质是解题的关键，属于基础题.6．已知满足约束条件若目标函数的最大值是,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得A，B的坐标，代入目标函数解方程可答案．【详解】约束条件作出可行域如图三角形区域，第4页共17页可得A（1，1），B（4，﹣2），当m＝0时，显然不符题意；当m＜0时，代入A（1，1）可得m+1＝6，可得m＝5，舍去；当m＞0时，代入（1，1）若取最大，可得m+1＝6，解得m＝5；代入（4，﹣2）可得4×5﹣2＝18＞6，则m＝5舍去；代入（4，﹣2）若取最大，可得4m﹣2＝6，解得m＝2，代入（1，1），可得2+1＝3＜6成立，综上可得m＝2．故选：C．【点睛】本题考查简单线性规划的应用，考查分类讨论思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．详解：第5页共17页由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD是长方形，AB=2，AD=1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=90°，PA=2，则S四边形ABCD=2×1=2，，，，∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．故选：B．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．已知点,.若椭圆上存在点,使得为等边三角形,则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C点的坐标代入椭圆方程即可求得m．然后求解椭圆的离心率．【详解】过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为（1，），C点的坐标代入椭圆方程得，解得m＝6，所以椭圆的离心率为：．故选：C．第6页共17页【点睛】本题主要考查了椭圆方程求解，解题的关键是充分利用正三角形的性质，求出C点的坐标．二、填空题9．已知平面向量的夹角为,且满足则【答案】【解析】先根据平面向量的数量积公式求出的值，然后将平方，结合所求数量积以及，，可得结果.【详解】，向量与的夹角为，，由此可得，，故答案为(1)(2).【点睛】求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐标形式出现的，求向量a的模可直接利用公式|a|＝.(2)若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．10．设等差数列的前项和为.若,,则数列的通项公式可以是.【答案】.【解析】由已知列出关于公差d的不等式，求出d的范围，不妨取d＝﹣1，可得数列{an}的一个通项公式．【详解】设等差数列{an}的公差为d，由a1＝1，S2＞S3，得2+d＞3+3d，即2d＜﹣1，d．不妨取d＝﹣1，可得an＝1﹣（n﹣1）＝﹣n+2．第7页共17页故答案为：﹣n+2（答案不唯一）．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和公式，是基础题．11．已知圆的参数方程为（为参数）,则圆的面积为__________;圆心到直线的距离为__________.【答案】；.【解析】化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标与半径，则圆的面积可求；再由点到直线的距离公式求圆心C到直线l：3x﹣4y＝0的距离．【详解】由圆C，可得（x﹣2）2+y2＝1，∴圆C的圆心坐标为（2，0），半径为1，则圆C的面积为π×12＝π；圆心C（2，0）到直线l：3x﹣4y＝0的距离为d．故答案为：π；．【点睛】本题考查圆的参数方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．12．在的展开式中,含项的系数为,则实数的值为.【答案】-1【解析】【详解】分析：由二项展开式求出该项的表达式，根据系数为-10，即可求出结果.详解：由二项展开式公式可知项为，所以，解得.点睛：本题考查二项式定理，熟练掌握公式，求值即可，要注意区分二项式系数与某项系数的区别.13．执行如图所示的程序框图,若输入值满足,则输出值的取值范围是______.第8页共17页【答案】.【解析】直接利用程序框图和分类讨论的思想求出结果．【详解】根据输入x值满足﹣2＜x≤4，故：利用函数的定义域，分成两部分：即：﹣2＜x＜2和2≤x≤4，当﹣2＜x＜2时，执行y＝x2﹣3的关系式，故：﹣3≤y＜1，当2≤x≤4时，执行y＝log2x的关系式，故：1≤y≤2．综上所述：y∈[﹣3，2]，故答案为：[﹣3，2]【点睛】本题考查了条件结果的程序框图的应用，属于基础题．14．某种物质在时刻的浓度与的函数关系为（为常数）.在和测得该物质的浓度分别为和,那么在时,该物质的浓度为___________;若该物质的浓度小于,则最小的整数的值为___________.【答案】25.56；13.【解析】由条件将t=0和t=1代入即可解得，可得出，从而可求出t＝4时物质的浓度值；物质的浓度小于24.001时，得出，结合lg2≈0.301即可解出t＞12.5，可得出最小的整数t的值．【详解】根据条件：ar0+24＝124，ar+24＝64；第9页共17页∴；∴；∴；由得：；∴；∴；∴t[lg2﹣（1﹣lg2）]＜﹣5；∴t（2lg2﹣1）＜﹣5，带入lg2≈0.301得：﹣0.398t＜﹣5；解得t＞12.5；∴最小的整数t的值是13．故答案为：25.56，13．【点睛】本题考查解析式的定义及求法，待定系数法求函数解析式，以及对数的运算，属于基础题．三、解答题15．在VABC中，21a，120A，VABC的面积等于3，且bc．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）1314.【解析】（I）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组，解方程组求得,bc的值.（II）利用正弦定理求得sinB的的值，利用二倍角公式求得cos2B的值.【详解】解：（Ⅰ）由已知得2221==3,221=2120.SbcsinAbcbccos整理得22=4,=17.bcbc解得=1,=4bc，或=4,=1.bc第10页共17页因为bc，所以1b．（Ⅱ）由正弦定理sinsinabAB，即372sin=1421B．所以22713cos2=12sin121414BB【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理解三角形，考查二倍角公式，属于中档题.16．已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；（Ⅱ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），如果对任意n∈N，都有bn+t≤t2，求实数t的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+an＝n﹣an，再写一式，两式相减，整理可得数列{an-1}是等比数列；（Ⅱ）先确定bn，再利用bn+1﹣bn，确定bn有最大值b3＝b4，从而对任意n∈N，都有bnt≤t2，等价于对任意n∈N，都有t2t成立，由此可求实数t的取值范围．【详解】（Ⅰ）由题可知：，①，②②-①可得.即：，又.所以数列是以为首项，以为公比的等比数列.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，∴.由可得，由可得.第11页共17页所以，，故有最大值.所以，对任意，都有，等价于对任意，都有成立.所以，解得或.所以，实数的取值范围是.【点睛】本题考查了由数列递推式推导等比数列的证明，考查恒成立问题及数列的最大项问题，考查了数列的单调性的判断，是中档题．17．据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了.卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷造林方式地区造林总面积人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙61848431105274094136006903826950河北58336134562533333135107656533643河南14900297647134292241715376133重庆2263331006006240063333陕西297642184108336026386516067甘肃325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629宁夏91531589602293