2019届8月人大附中高三摸底考理科试题及答案

数学（理）第1页（共18页）中国人民大学附属中学2019届高三八月摸底统一练习数学(理)试题命题：高三数学组审题：梁丽平、杨良庆、于金华说明：本试卷共三道大题20道小题，共4页，满分150分，考试时间120分钟；考生务必按要求将答案答在答题纸上．在试卷上作答无效．一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案前的字母按规定要求填涂在“答题纸”第1-8题的相应位置上．）（1）已知集合2{20}Axxx，{1,0,1,2}B，则ABI（A）{-1,0,1}（B）{1,0,2}（C）{0,1,2}（D）{02}Axx（2）下列函数中，与函数y＝31x定义域相同的函数为（A）y＝1sinx（B）y＝lnxx（C）y＝xex（D）y＝sinxx（3）已知aÎR且0a¹，则“11a”是“a1”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（4）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）4＋2（B）5＋2（C）7＋2（D）8＋2（5）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知,23,23Aab则c=（A）4（B）3（C）3＋1（D）3（6）在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，长度单位不变，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M，N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为（A）1，33（B）233，π6（C）2333，（D）2323，2018.8数学（理）第2页（共18页）（7）若函数f(x)＝x2＋ax＋2b在区间(0,1)，(1,2)内各有一个零点，则a2＋(b－2)2的取值范围是（A）(5，10)（B）(5,10)（C）(0,5)（D）(0,10)（8）已知函数21,0,log,0,axxfxxx则下列关于函数1yffx的零点个数的判断正确的是（A）当0a时，有4个零点；当0a时，有1个零点（B）当0a时，有3个零点；当0a时，有2个零点（C）无论a为何值，均有2个零点（D）无论a为何值，均有4个零点二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）（9）在复平面内，复数21i对应的点与原点的距离是.（10）曲线sinyx在点（3,32）处的切线方程为.（11）设a＝20.5，b＝0.32，c＝log20.3，则a、b、c的大小关系是.（12）在等比数列}{na中，an0，a3=4，a7=64，则数列{na2log}的前9项之和为.（13）过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点F(－c,0)(c0)，作圆O：x2＋y2＝a24的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若点E恰为线段FP的中点，则双曲线C的离心率为.（14）若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则a=；b=；f(x)的最大值为________．数学（理）第3页（共18页）三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）（15）（本小题13分）已知函数()sin(2)cos26fxxx.(Ⅰ)求()fx的单调递增区间；(Ⅱ)求f(x)在5,126上的最小值及取得最小值时自变量x的值.数学（理）第4页（共18页）（16）（本小题13分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米:75微克/立方米之间（包括35、75）空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．PM2.5日均值(微克/立方米)2837143445563879863925数学（理）第5页（共18页）（17）（本小题13分）如图，在四棱锥PABCD-中，PA^底面ABCD，ADAB^，//ABDC，2ADDCAP===，1AB=，点E为棱PC的中点.（Ⅰ）求证://ABEPD平面；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点F，满足BFAC^，若存在，求CFCP，若不存在，说明理由.数学（理）第6页（共18页）（18）（本小题13分）已知函数xmxxxhln有两个极值点21,xx，且21xx.（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）求12xxh的取值范围.数学（理）第7页（共18页）（19）（本小题14分）已知椭圆2228Exy：，直线l与E相交于,PQ两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的长轴长和离心率；（Ⅱ）判断是否存在直线l，满足条件：12331233ODOPOQOCOQOPuuuruuuruuuruuuruuuruuur，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.数学（理）第8页（共18页）（20）（本小题14分）若无穷数列满足：①对任意，212nnnaaa≤；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，数列为等差数列.{}na*nNM*nNnaM{}naT{}na82nna(*)nN{}naT{}na{}naT*nN1nnaa{}na{}naT0*nN0{}nna数学（理）第9页（共18页）2019届高三人大附中理科开学考试卷答案一、选择题（本大题共8道小题，每小题5分，共40分．CDBCABBA二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分.）（9）2；（10）2303xy；（11）36；（12）c＜b＜a；（13）102；（14）8，15，16.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）解：(Ⅰ)()sin(2)cos26fxxx31sin2cos2cos222xxx………………2分33sin2cos222xx133(sin2cos2)22xx3sin(2)3x………………4分函数sinyx的单调递增区间为ππ[2π,2π]()22kkkZ，由2πππ2π2π()232Zkxkk≤≤，………………6分得π5πππ()1212Zkxkk≤≤.所以，()fx的单调递增区间为π5π[π,π]()1212Zkkk.………………8分(Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)＝3sin2x－π3，因为x∈5,126，所以42,363x，………………10分当42=33x，即5=6x时，f(x)取得最小值－32.………………13分数学（理）第10页（共18页）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可知，空气质量为一级的有4天，为二级的有6天，超标的有5天记“从15天的2.5PM日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A则1241131544()91CCPAC……………………………………4分（Ⅱ）的可能值为0,1,2,3，……………………5分0351031524(0)91CCPC1251031545(1)91CCPC2151031520(2)91CCPC305103152(3)91CCPC……………………………………………9分所以的分布列为0123P249145912091291…………………………………10分24452030123191919191E………………………………11分（Ⅲ）15天的空气质量达到一级或二级的频率为102153………………12分2136524333，所以估计一年中有12433天的空气质量达到一级或二级.………………13分（说明：答243天，244天不扣分）（17）（本小题13分）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得()1,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,2P.由E为棱PC的中点，得()1,1,1E.………………1分（Ⅰ）证明：向量()0,1,1BE=，面PAD的法向量为()1,0,0AB=，………………2分故0BEAB?.………………3分zyxPEDCBA数学（理）第11页（共18页）//ABBEPADBEPBDEA面面^Ë\,………………4分（Ⅱ）解：向量()1,2,0BD=-，()1,0,2PB=-.设(),,nxyz=为平面PBD的法向量，则0,0,nBDnPBìï?ïíï?ïî即20,20.xyxzì-+=ïïíï-=ïî………………6分不妨令1y=，可得()2,1,1n=为平面PBD的一个法向量.于是有23cos,362nBEnBEnBE×=´==×.所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.………………8分（Ⅲ）解：假设在棱PC上是存在点F，满足BFAC^，设CFCPl=，则CFCPl=，01l＃,………………9分向量()1,2,0BC=，()2,2,2CP=--，()2,2,0AC=，()1,0,0AB=,所以，()1,2,0BCACAB=-=,………………10分故()12,22,2BFBCCFBCCPllll=+=+=--.………………11分由BFAC^，得0BFAC?，………………12分因此，()()2122220ll-+-=，解得34l=,满足01l＃，所以，在棱PC上存在点F，满足BFAC^，此时，34CFCP=.………………13分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）222'11xmxxxmxxh，………………1分函数xmxxxhln有两个极值点等价于关于x的方程：20xxm数学（理）第12页（共18页）有两个不等的正实数根，………………3分令2()fxxxm，因为f(x)的对称轴为12x，所以,140(0)0mfm,………………5分解得104m,所以，实数m的取值范围为1(,0)4；………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知21,xx，且21xx是20xxm的两个不等的正实数根，所以，12121,xxxxm,………………7分故21221222()lnlnmhxxxxxxxx,………………9分其中21141(,1)22mx,令xxxgln，1(,1)2x，………………10分因为1(,1)2x时，011'xxg，………………11分所以xxxgln在1(,1)2上单调递增，………………12分所以，1()(ln2,1)2gx，即12xxh的取值范围是1(ln2,1)2.………………13分数学（理）第13页（共18页）（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）椭圆E的方程可化为22184xy，所以，222ab，………………2分故222cab,………………3分所以，椭圆E的长轴长242a，离心率22cea………………4分（Ⅱ）解法1：结论：存在直线l，使得12331233ODO