专题一 第4讲　导数的几何意义及函数的单调性 (7)

第4讲导数的几何意义及函数的单调性[考情分析]1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础，是高考的热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性，是导数应用的重点内容，也是高考的常见题型，以选择题、填空题的形式考查，或为导数解答题第一问，难度中等偏上，属综合性问题．考点一导数的几何意义与计算核心提炼导数的几何意义(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率．(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同．(3)切点既在切线上，又在曲线上．例1(1)(2022·焦作模拟)函数f(x)＝(2ex－x)·cosx的图象在x＝0处的切线方程为()A．x－2y＋1＝0B．x－y＋2＝0C．x＋2＝0D．2x－y＋1＝0(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．易错提醒求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．跟踪演练1(1)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.(2)(2022·衡水模拟)动直线l分别与直线y＝2x－1，曲线y＝32x2－lnx相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.510B.55C．1D.5考点二利用导数研究函数的单调性核心提炼利用导数研究函数单调性的步骤(1)求函数y＝f(x)的定义域；(2)求f(x)的导数f′(x)；(3)求出f′(x)的零点，划分单调区间；(4)判断f′(x)在各个单调区间内的符号．例2设函数f(x)＝(x－2)ex＋12ax2－ax，讨论f(x)的单调性．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________规律方法(1)讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制；(2)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论；(3)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．跟踪演练2(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝lnx－lntx－t.(1)当t＝2时，求f(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________考点三单调性的简单应用核心提炼1．函数f(x)在区间D上单调递增(或递减)，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．2．函数f(x)在区间D上存在单调递增(或递减)区间，可转化为f′(x)0(或f′(x)0)在x∈D上有解．例3(1)若函数f(x)＝ex(cosx－a)在区间－π2，π2上单调递减，则实数a的取值范围是()A．(－2，＋∞)B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)D．[2，＋∞)(2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则()A．a＞0＞bB．a＞b＞0C．b＞a＞0D．b＞0＞a规律方法利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题，转化为利用导数研究函数单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．跟踪演练3(1)已知a＝e0.02，b＝1.02，c＝ln2.02，则()A．cabB．abcC．acbD．bac(2)已知变量x1，x2∈(0，m)(m0)，且x1x2，若2112xxxx恒成立，则m的最大值为(e＝2.71828…为自然对数的底数)()A．eB.eC.1eD．1