专题三 第1讲　等差数列、等比数列 (16)

第1讲等差数列、等比数列[考情分析]1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．考点一等差数列、等比数列的基本运算核心提炼等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1qn－1.(3)等差数列的求和公式：Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－12d.(4)等比数列的求和公式：Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.例1(1)(2022·南通调研)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S5＝4a4，则S12a5等于()A．10B．14C．15D．18(2)(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为()A．8B．10C．12D．16规律方法等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．跟踪演练1(1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于()A．14B．12C．6D．3(2)(2022·广东联考)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a1，a2，a3，…，a9，设数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，且a2＝18，a4＋a6＝90，则()A．a1＝6B．{an}的公差为7C．a6＝3a3D．S9＝405考点二等差数列、等比数列的性质核心提炼1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列，有aman＝apaq＝a2k.2．前n项和的性质：(1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数时除外)．(2)对于等差数列有S2n－1＝(2n－1)an.例2(1)(2022·雅安模拟)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项积，若S7S2＝32，则S9等于()A．1024B．512C．256D．128(2)(2022·南昌模拟)已知公差不为0的等差数列{an}满足a25＋a26＝a27＋a28，则()A．a6＝0B．a7＝0C．S12＝0D．S13＝0规律方法等差数列、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．跟踪演练2(1)若数列{an}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则a15＋a16等于()A．32B．64C．128D．256(2)已知数列{an}是等差数列，若a9＋a120，a10·a110，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn0时，n的最大值为()A．10B．11C．20D．21考点三等差数列、等比数列的判断核心提炼等差数列等比数列定义法an＋1－an＝dan＋1an＝q(q≠0)通项法an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1中项法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)a2n＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n项和法Sn＝an2＋bn(a，b为常数)Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)证明数列为等差(比)数列一般使用定义法．例3(2022·连云港模拟)若数列{an}满足：a1＝1，a2＝5，对于任意的n∈N*，都有an＋2＝6an＋1－9an.证明：(1)数列{an＋1－3an}是等比数列；(2)数列an3n为等差数列，并求{an}的通项公式．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________易错提醒(1)a2n＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.(2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列．(3)证明{an}不是等比数列可用特值法．跟踪演练3(2022·湖北七市(州)联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝3Sn－2(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：对任意的m∈N*，Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________