考前回扣 回扣8　函数与导数

回扣8函数与导数1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围．(2)常见函数的值域①一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为R；②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a0时，值域为4ac－b24a，＋∞，当a0时，值域为－∞，4ac－b24a；③反比例函数y＝kx(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}．2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝________成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝________成立，则f(x)为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值，若________________，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，________是它的一个周期；②若函数f(x)满足f(x＋a)＝1fx，则f(x)为周期函数，________是它的一个周期；③若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，________是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝________对称．②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点________________对称．4．函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上单调递________；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0⇔fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在[a，b]上单调递________．②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性．5．指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y＝ax(a0，且a≠1)恒过(0,1)点；y＝logax(a0，且a≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增；当0a1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减．6．函数与方程(1)零点定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：解方程f(x)＝0；②零点存在定理法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．7．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．8．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)0的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)0的解集确定函数f(x)的单调递减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)0(或f′(x)0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．9．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极________值点；若左负右正，则x0为极________值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．10．常见的含有导数的几种不等式构造原函数类型(1)对于f′(x)±g′(x)0，构造函数h(x)＝f(x)±g(x)．(2)对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，构造函数h(x)＝f(x)g(x)，对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)0，构造函数h(x)＝fxgx(g(x)≠0)．例如，对于xf′(x)＋f(x)0，构造函数h(x)＝xf(x)，对于xf′(x)－f(x)0，构造函数h(x)＝fxx.(3)对于f(x)＋f′(x)0，构造函数h(x)＝exf(x)，对于f′(x)－f(x)0，构造函数h(x)＝fxex.1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax(a0，a≠1)的单调性容易忽视对a的取值进行讨论；对数函数y＝logax(a0，a≠1)容易忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．7．已知可导函数f(x)在区间(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立．8．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．