专题2 培优点6　向量极化恒等式 (67)

培优点6向量极化恒等式平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．考点一向量极化恒等式极化恒等式：a·b＝a＋b22－a－b22.变式：(1)a·b＝a＋b24－a－b24，a·b＝|a＋b|24－|a－b|24.(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则AB→·AC→＝AM→2－14CB→2＝AM→2－MB→2.考向1利用向量极化恒等式求值例1(1)如图所示，在长方形ABCD中，AB＝45，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则AE→·AF→＝________.(2)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．BA→·CA→＝4，BF→·CF→＝－1，则BE→·CE→的值为________．考向2利用向量极化恒等式求最值、范围例2(1)已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值是________．(2)平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值为________．规律方法利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．跟踪演练1(1)如图，在四边形ABCD中，B＝60°，AB＝3，BC＝6，且AD→＝λBC→，AD→·AB→＝－32，则实数λ的值为________；若M，N是线段BC上的动点，且|MN→|＝1，则DM→·DN→的最小值为________．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PM→·PN→的取值范围是________．考点二等和(高)线解基底系数和(差)问题等和(高)线平面内一组基底OA→，OB→及任一向量OP′—→，OP′—→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线．①当等和线恰为直线AB时，k＝1；②当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；③当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；④当等和线过O点时，k＝0；⑤若两等和线关于O点对称，则定值k1，k2互为相反数；⑥定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．例3(1)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为()A.12B.13C.14D．1(2)如图，圆O是边长为23的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，BM→＝xBA→＋yBD→(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为()A.2B.3C．2D．22易错提醒要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线．跟踪演练2给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为2π3，如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________．