专题05 平面向量与复数（测）（解析版）

专题05平面向量与复数能力提升检测卷时间：60分钟分值：100分一、选择题（每小题只有一个正确选项，共60分）1．已知复数1z和2z满足1111zz，且223i1z，则12zz的最小值是（）A．131B．2C．3D．1【答案】D【分析】设1izab，,Rab，复数1z在复平面内对应的点为1,Zab，2zxyi，,Rxy，复数2z在复平面内对应的点为2,Zxy，依题意可得1Z、2Z的轨迹方程，最后根据复数模的几何意义计算可得；【详解】解：设1izab，,Rab，复数1z在复平面内对应的点为1,Zab，则111izab，111izab，因为1111zz，所以222211abab，所以0a，所以1izb，则10,Zb，则1Z在y轴上运动，设2zxyi，,Rxy，复数2z在复平面内对应的点为2,Zxy，则223i23izxy，所以22223i231zxy，所以()()22231xy-+-=，则2Z在以2,3为圆心，1r为半径为圆上运动，所以12iiizbxybzxy，所以2212=zzxyb，则12zz表示圆上的点与y轴上的点的距离，因为圆心2,3到y轴的距离2d，所以12min211zzdr；故选：D2．已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则APBP的最小值为（）A．2B．1C．2D．1【答案】D【分析】选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.【详解】记BPx，[0,4]x因为APBPBA，所以222222(1)11APBPBPBABPBPBPxxx.故选：D3．已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cos,=aab（）A．3135B．1935C．1735D．1935【答案】D【分析】计算出aab、ab的值，利用平面向量数量积可计算出cos,aab的值.【详解】5a，6b，6ab，225619aabaab.22222526367ababaabb，因此，1919cos,5735aabaabaab.故选：D.4．已知3i12zz，则z（）A．17i5B．17i5C．17i5D．17i5【答案】D【分析】将3i12zz整理得3i12iz，根据复数的除法运算，可求出z，即得答案.【详解】根据3i12zz，可得3i12i3i173i2i,12i3i,i12i12i12i55zzzz，故选：D.5．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BCa，BAb，3BEEF，则BF=（）A．1292525abB．16122525abC．4355abD．3455ab【答案】B【分析】根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.【详解】因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BCa，BAb，3BEEF，则34BFBCCFBCEA3()4BCEBBA33()44BCBFBA93164BCBFBA，解得16122525BFBCBA，所以16122525abBF.故选：B6．已知向量a，b，c满足3,0a，0,4b，1cabR，则c的最小值为（）A．56B．125C．365D．485【答案】B【分析】首先求向量c的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值.【详解】由条件可知3,44c，则222944253216c216144252525，当1625时，min125c.故选：B7．在ABC中，若点D满足3BDDC，点E为AC的中点，则ED（）A．1144ABACB．1536ABACC．1344ABACD．1536ABAC【答案】A【解析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.【详解】111111()242444EDECCDACCBACABACABACuuuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuuruuuruuur.故选：A8．已知M，N为单位圆O∶221xy上的两个动点，且满足1,3,4MNP，则PMPN的取值范围为（）A．5110351103,22B．5120351203,22C．[103,103]D．[1023,1023]【答案】A【分析】设MN中点为E，利用泛极化公式把PMPN转化为222124MNPMPNPEPE，再判断出E的轨迹为圆，可求出PMPN的范围.【详解】解析：设MN中点为E，则222124MNPMPNPEEMPEENPEEMPEEMPEPE，因为3||2OE，所以点E在以O为圆心，32为半径的圆上运动.故335||522PE；所以511035110322PMPN.故选:A9．O是坐标原点，已知2,1A，1,3B，1,2P．若点M为直线OP上一动点，当AMBM取得最小值时，此时MP（）A．510B．55C．52D．5【答案】A【分析】可设OPOM()R，可得(,2)M，然后，根据向量数量积的坐标运算得到AMBM为二次函数，利用二次函数的性质可求出，进而得到M，最后求得MP【详解】由已知得(1,2)OPuuur，因为点M为直线OP上一动点，所以，可设OPOM()R，得到(,2)M，则(2,21)AM，(1,23)BM，则(2)(1)(21)(23)AMBM2591，当且仅当910时，AMBM取得最小值，此时，可得99(,)105M，所以，11(,)105MP，得到510MP.故选：A10．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式iecosisinxxx，（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数，Rx），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（）A．iπe10B．ii2coseexxxC．ii2sineexxxD．202222i122【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.【详解】对于A，πieπcosiπsin1，所以iπe1112，故A不正确；对于B，iecosisinxxx，iecosisincosisinxxxxx，所以iiee2cosxxx，故B正确；对于C，iecosisinxxx，iecosisincosisinxxxxx，所以iiee2isinxxx，故C不正确；对于D，202220222022πi422ππ2022π2022πicosisinecosisin224444ππcosisini22，故D不正确.故选：B.11．已知复数21iz①在复平面内z对应点的坐标为(1，－1)；②复数的虚部为i；③复数的共轭复数为i1；④|2|z；⑤复数z是方程2220xx在复数范围内的一个根.以上5个结论中正确的命题个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】利用复数除法运算求得1iz，根据复数在复平面内对应的点的坐标判断①的正误，根据复数的概念判断②的正误，根据复数的共轭复数可以判断③的正误，根据复数模的概念判断④的正误，利用方程在复数范围内求解判断⑤的正误.【详解】因为22(1i)1i1i(1i)(1i)z，所以在复平面内z对应点的坐标为(1，－1)，所以①正确；复数z的虚部为1，所以②错误；复数z的共轭复数为1i，所以③错误；221(1)2z，所以④正确；方程2220xx在复数范围内的根为2481i2，所以复数z是方程2220xx在复数范围内的一个根，所以⑤正确；所以正确的命题个数为3个，故选：C.12．若复数24izmm是虚数，则实数m取值的集合是（）A．4mmB．4mmC．4mmD．mmR【答案】C【分析】根据复数是虚数的条件为虚部不为零，列式求得结果，选出答案.【详解】由复数24izmm是虚数，所以40m，所以实数m取值的集合是4mm，故选：C.二、填空题（共4小题，共20分）13．在正方形ABCD中，4AB，P点在正方形区域内（含边界），且满足2PAPB，则PAPB的最大值为________.【答案】9【分析】建立直角坐标系，由题意结合双曲线的定义可得P点的轨迹方程为221(12)3yxx剟，转化条件得24PAPBOP，由2222231OPxyxx求出最大值后即可得解.【详解】以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，如图建立直角坐标系，则2,0A，2,0B，由2PAPB得P点的轨迹方程为221(12)3yxx，所以2224PAPBOAOPOBOPOPOAOP，设(,)Pxy，则2222223143OPxyxxx，因为12x，所以2max||13OP，所以PAPB的最大值为9.故答案为：9.14．设两个向量a22()2cos，和b＝,sin2mm，其中m、、为实数.若2ab，则m的取值范围是________.【答案】[6,1]【分析】由2ab可得22m，且22cos2sinma，整理得224941sin2sinmm，结合三角函数和二次函数性质求出21sin2sin范围，即可得m范围，同时将代换成关于m表达式，即可求解.【详解】∵2b＝(2,2sin)mma，a22()2cos，，∴22m，且22cos2sinma，∴2222c)2sin(osmm，即224941sin2sinmm，又∵221sin2sin(sin1)2，sin[1,1]，∴2(sin1)2[2,2]，∴－2≤4m2－9m＋4≤2，解得14≤m≤2，∴1142m，又∵λ＝2m－2，∴22mm，∴2621m，∴m的取值范围是[6,1].故答案为：[6,1].15．已知平面向量,ab，其中||2,||1ab，,ab的夹角是3，则2ab____________；若t为任意实数，则atb的最小值为____________．【答案】23【解析】根据平面向量的数量积和模的运算公式，即可求得2abrr的值，再由模的运算公式，化简得到224ttatb，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，平面向量,ab，其中||2,||1ab，,ab的夹角是3，可得cos21cos133abab，则22224444414ababab，所以22ab，又由222222()224(1)3atabtbttatatbtb