第02讲 复数（练）（解析版）

第02讲复数1．若复数z满足(2i)i54iz，则z（）A．33iB．33iC．13iD．13i【答案】C【分析】根据复数的四则运算，先求出复数z,再求z即可.【详解】解：由2ii54iz，得55i2i55i515i13i2i2i2i5z，所以13iz.故选：C.2．若复数z满足(2i)i54iz，则z（）A．33iB．33iC．13iD．13i【答案】C【分析】由复数的除法法则求解．【详解】由(2i)i54iz，得55i(55i)(2i)515i13i2i(2i)(2i)5z.故选：C.3．若复数17i1iz，则（）A．5zB．复数z在复平面上对应的点在第二象限C．复数z的实部与虚部之积为12D．i34z【答案】A【分析】根据复数的运算法则，化简得到34iz，结合复数的基本概念，共轭复数的概念，以及复数的模的计算公式，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，复数17i1i17i34i1i1i1iz，可得22(3)(4)5z，所以A正确；复数z在复平面对应的点(3,4)位于第三象限，所以B错误；复数34iz的实部为3，虚部为4，可得实部与虚部之积为12，所以C错误；由复数34iz的共轭复数为34iz，所以D错误.故选：A.4．若复数34iz，则1zzz的虚部为（）A．1i6B．1i6C．16D．16【答案】D【分析】根据共轭复数的定义，求出z，再将1zzz转化为复数的标准形式即可.【详解】由题意，i34z，34i34i11i34i34i124861zzz，∴其虚部为16；故选：D.5．已知复数i2iaz（i为虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是（）A．122，B．122，C．2，D．12，【答案】A【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部均小于0列不等式组求解.【详解】因为i2i212ii2i2i2i5aaaaz，在复平面内对应的点在第三象限，21020aa，解得122a.故选：A.6．已知复数324i1iz，则z（）A．5B．10C．25D．210【答案】B【分析】根据复数的运算法则，求得3iz，结合模的计算公式，即可求解.【详解】由题意，复数324i1i24i24i3i1i1i1i1iz，所以223(1)10z.故选：B.二、填空题7．已知复数2242izmmmmR为纯虚数，则z______.【答案】4【分析】由复数为纯虚数求得m的值，然后代入模的计算公式得答案．【详解】因为复数z为纯虚数，则2240,20,mmm，解得2m.所以4iz，所以4z.故答案为：4.8．规定运算abadbccd，若i12ii2z，设i为虚数单位，则复数z__________.【答案】1i【分析】根据新定义运算直接列方程求解.【详解】因为规定运算abadbccd，且i12ii2z，所以2i(i)12iz，222iz，得1iz，故答案为：1i9．若复数2013(1i)iza为实数，则实数a________．【答案】1【分析】根据复数代数形式的乘方及加法运算化简，再根据复数的类型求出参数的值.【详解】解：因为45031ii(1)izaaaa为实数，所以10a，即1a．故答案为：110．若实数,xy满足i1()ixyxy，则xy_____________．【答案】12#0.5【分析】根据复数相等充要条件，列出方程组，求得,xy的值，即可求解.【详解】因为i1()xyxy，可得1xyxy，解得11,2xy，所以12xy.故答案为：1211．已知221i14(R)zmmmmm，2i32z，则“1m”是“12zz”的________条件．【答案】充分不必要【分析】根据充分条件，必要条件的定义即得.【详解】当12zz时，必有213mm且242mm，解得2m或1m，显然“1m”是“12zz”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要.一、单选题1．已知复数z满足4i5izzza，则实数a的取值范围为（）A．[4,4]B．[6,6]C．[8,8]D．[12,12]【答案】D【分析】设i,,Rzxyxy，由复数相等，得出,,xya的关系式，消去x得到关于y的一元二次方程有实数解，利用0，求解即可得出答案.【详解】设i,,Rzxyxy，则22+4ii5+ixyxya，整理得：2244i5ixyyxa,所以22454xyyxa，消去x得22+45016ayy,因为方程有解，所以21645016a，解得：1212a.故选：D.2．设2i2i2iz，则z（）A．355B．55C．533D．5【答案】A【分析】根据复数的除法及加法法则，结合复数的摸公式即可求解.【详解】2i2i2i34i362i=2i=2i=i2i2i52i55z，所以223635555z.故选：A.3．已知虚数z是关于x的方程240Rxxaa的一个根，且|z|5，则a（）A．1B．2C．4D．5【答案】D【分析】设izmn，代入原方程，根据复数相等和22||zmn可得答案.【详解】设izmn（,Rmn且0n），代入原方程可得224(24)i0mnmamnn，所以2240240mnmamnn，解得2402nam，因为22||5zmn，所以21,5na.故选：D.4．已知复数z的实部为1，且2zzzz，则z（）A．12iB．15iC．12iD．14i【答案】C【分析】设1i,Rzbb,由2zzzz列方程，即可求出b，进而得到复数z.【详解】由题意可设：1i,Rzbb,则1izb.因为2zzzz，所以2i4b，解得：2b.所以z12i.故选：C5．若复数z满足(1i)iz，则下列说法正确的是（）A．z的虚部为1i2B．z的共轭复数为11i22zC．z对应的点在第二象限D．1z【答案】C【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)iz，得i1ii1i11i1i1i1i222z，对于A，复数z的虚部为12，故A不正确；对于B，复数z的共轭复数为11i22z，故B不正确；对于C，复数z对应的点为11,22，所以复数z对应的点在第二象限，故C正确；对于D，22112222z，故D不正确.故选：C.6．已知命题1p：11i的虚部为12；命题2p：在复平面内，复数212i对应的点位于第二象限.则下列命题为真命题的是（）A．12ppB．12ppC．12ppD．12pp【答案】C【分析】由复数的除法和乘法运算化简复数，再由复数的概念和几何意义可判断命题1p2,p的真假，再对各个选项进行判断，即可得出答案.【详解】11i11i1i(1i)(1i)22，其虚部为12，命题1p正确.22(12i)14i4i34i，在复平面内对应的点的坐标为3,4，位于第三象限，命题2p错误.故命题12pp为真命题.故选:C.7．已知复数(13i)(1i)(13i)iz，若i()Rzmm，则当2z时，实数m的取值范围是______________．【答案】[31,31]【分析】先对已知式子化简计算出复数z，从而可得z，复数，代入2z中化简可得21(1)4m，从而可求出实数m的取值范围.【详解】(13i)(1i)(13i)(24i)(13i)1i1iiiiz，所以|2|z，1(1)im．由2z得||2，所以21(1)4m，即2(1)3m，解得3131m．故答案为：[31,31]8．已知36(13i)i(,R)(1i)abab，则ab____________．【答案】1【分析】利用复数四则运算法则，计算36(13i)i(1i)，然后利用复数相等，得0,1ab，得答案.【详解】333632132i22(13i)81i(1i)8ii(1i)，所以0,1ab，从而1ab．故答案为：1.9．设izxy（x，yR），若33i2xy，则1z的取值范围是________．【答案】3,7【分析】根据复数的几何意义可得复数z对应的点的轨迹方程为圆，再转化为圆上的点到定点的距离的最值问题即可得解.【详解】解：由33i2xy，可得22334xy，表示,xy在以3,3为圆心，2为半径的圆上，2211zxy，1z的几何意义表示复平面内点,xy与点1,0的距离，即圆22334xy圆上的点与点1,0的距离，圆心3,3到点1,0的距离为1695，由圆的几何意义得到范围是317z．故答案为：3,7.10．复数2cos12sin3iz为纯虚数，则tan___________.【答案】3【分析】解不等式组2cos10,2sin30,即得解.【详解】解：∵2cos12sin3iz为纯虚数，∴2cos10,2sin30,解得1cos,23sin,2∴tan3.故答案为：311．已知复数z满足1i2z，则1z的取值范围是______.【答案】52,52【分析】根据复数模的几何意义判断复数z对应点的轨迹，数形结合法判断1z的范围.【详解】由1i2z，则z在复平面内对应的点Z是以1,1为圆心，2为半径的圆上及圆内，所以1z表示Z到1,0的距离，故其范围为52,52.故答案为：52,52.1．（2022·全国（理））已知12zi，且0zazb，其中a，b为实数，则（）A．1,2abB．1,2abC．1,2abD．1,2ab【答案】A【分析】先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12iz12i(12i)(1)(22)izazbababa由0zazb,得10220aba,即12ab故选:A2．（2022·全国（文））设(12i)2iab，其中,ab为实数，则（）A．1,1abB．1,1abC．1,1abD．1,1ab【答案】A【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为,abÎR，2i2iaba，所以0,22aba，解得：1,1ab．故选：A.3．（2022·全国（文））若1iz．则