第02讲 复数（讲）（解析版）

第2讲复数本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.考点一复数的有关概念(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).(2)分类：项目满足条件(a，b为实数)复数的分类a＋bi为实数⇔b＝0a＋bi为虚数⇔b≠0a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)模：向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R).考点二复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ→.考点三复数的运算(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.z1z2＝a＋bic＋di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0).(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ→＝OZ1→＋OZ2→，Z1Z2→＝OZ2→－OZ1→.考点四常用结论1.i的乘方具有周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.2.(1±i)2＝±2i，1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.3.复数的模与共轭复数的关系z·z－＝|z|2＝|z－|2.4.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.高频考点一复数的概念【例1】(2021·西安调研)下面关于复数z＝－1＋i(其中i为虚数单位)的结论正确的是()A.1z对应的点在第一象限B.|z||z＋1|C.z的虚部为iD.z＋z－0【答案】D【解析】∵z＝－1＋i，∴1z＝1－1＋i＝－1－i（－1＋i）（－1－i）＝－12－i2.则1z对应的点在第三象限，故A错误；|z|＝2，|z＋1|＝1，故B错误；z的虚部为1，故C错误；z＋z－＝－20，故D正确.【方法技巧】1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b＝0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a＝0且b≠0.2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为z－＝a－bi，则z·z－＝|z|2＝|z－|2，即|z|＝|z－|＝z·z－，若z∈R，则z－＝z.利用上述结论，可快速、简洁地解决有关复数问题.【变式训练】1.(2019·全国Ⅰ卷)设z＝3－i1＋2i，则|z|＝()A.2B.3C.2D.1【答案】C【解析】∵z＝3－i1＋2i＝（3－i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝1－7i5，∴|z|＝152＋－752＝2.高频考点二复数的几何意义【例2】(2020·临沂质检)已知a1－i＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】由a1－i＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，∴b＋1＝0，a＝b－1，即a＝－2，b＝－1，∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.【方法技巧】1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)Z(a，b)OZ→＝(a，b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，可把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.【变式训练】1.若复数z＝(2＋ai)(a－i)在复平面内对应的点在第三象限，其中a∈R，i为虚数单位，则实数a的取值范围为()A.(－2，2)B.(－2，0)C.(0，2)D.[0，2)【答案】B【解析】z＝(2＋ai)(a－i)＝3a＋(a2－2)i在复平面内对应的点在第三象限，∴3a0，a2－20，解得－2a0.2.(2022·郑州模拟)已知复数z1＝2－i2＋i在复平面内对应的点为A，复数z2在复平面内对应的点为B，若向量AB→与虚轴垂直，则z2的虚部为________.【答案】－45【解析】z1＝2－i2＋i＝（2－i）2（2＋i）（2－i）＝35－45i，所以A35，－45，设复数z2对应的点B(x0，y0)，则AB→＝x0－35，y0＋45，又向量AB→与虚轴垂直，∴y0＋45＝0，故z2的虚部y0＝－45.高频考点三复数的运算【例3】(1)(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝()A.0B.1C.2D.2(2)在数学中，记表达式ad－bc为由abcd所确定的二阶行列式.若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝2＋i1－i，z3＝z－2，则当z1z2z3z4＝12－i时，z4的虚部为________.【答案】(1)D(2)－2【解析】(1)法一z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.法二|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.故选D.(2)依题意，z1z2z3z4＝z1z4－z2z3，因为z3＝z－2，且z2＝2＋i1－i＝（2＋i）（1＋i）2＝1＋3i2，所以z2·z3＝|z2|2＝52，因此有(1＋i)z4－52＝12－i，即(1＋i)z4＝3－i，故z4＝3－i1＋i＝（3－i）（1－i）2＝1－2i.所以z4的虚部是－2.【方法技巧】1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.2.记住以下结论，可提高运算速度：(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i；(3)1－i1＋i＝－i；(4)－b＋ai＝i(a＋bi)；(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).【变式训练】1.(2022·南宁模拟)已知z＝3－i1－i(其中i为虚数单位)，则z的共轭复数z－的虚部是()A.－1B.－2C.1D.2【答案】A【解析】∵z＝3－i1－i＝（3－i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝4＋2i2＝2＋i，∴z－＝2－i，∴z－的虚部为－1.2.1＋i1－i6＋2＋3i3－2i＝________.【答案】－1＋i【解析】原式＝（1＋i）226＋（2＋3i）（3＋2i）（3）2＋（2）2＝i6＋6＋2i＋3i－65＝－1＋i.