第01讲 三角函数的图像与性质（讲）（解析版）

第01讲三角函数的图像与性质本讲为高考命题热点，分值17-22分，题型多变，选择题，填空题，解答题都会出现，三角函数的图像与性质，三角恒等变换常考察选择题，填空题，解三角形常考察解答题，考察逻辑推理能力，运算求解能力.考点一正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R，且x≠kπ＋π2}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2kπ－π2，2kπ＋π2[2kπ－π，2kπ]kπ－π2，kπ＋π2递减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)kπ＋π2，0kπ2，0对称轴方程x＝kπ＋π2x＝kπ无1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式.3.对于y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.考点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ1.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径2.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.3.由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.高频考点一三角函数的值域和定义域【例1】1.函数y＝sinx－cosx的定义域为________.【答案】2kπ＋π4，2kπ＋5π4(k∈Z)【解析】法一要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.【例2】函数y＝sinx－cosx＋π6的值域为________.【答案】[－3，3]【解析】∵y＝sinx－cosx＋π6＝sinx－32cosx＋12sinx＝32sinx－32cosx＝3sinx－π6，∴函数y＝sinx－cosx＋π6的值域为[－3，3].【方法技巧】1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值.【变式训练】1.当x∈π6，7π6时，函数y＝3－sinx－2cos2x的值域为________.【答案】78，2【解析】因为x∈π6，7π6，所以sinx∈－12，1.又y＝3－sinx－2cos2x＝3－sinx－2(1－sin2x)＝2sinx－142＋78，所以当sinx＝14时，ymin＝78，当sinx＝－12或sinx＝1时，ymax＝2.即函数的值域为78，2.2.函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.【答案】－12－2，1【解析】设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinxcosx，sinxcosx＝1－t22，且－2≤t≤2.∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－2时，ymin＝－1＋222.∴函数的值域为－12－2，1.高频考点二三角函数的周期性、奇偶性、对称性【例3】(1)(2021·郑州调研)在函数①y＝cos|x|，②y＝|cosx|，③y＝cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的函数有()A.①③B.①④C.②④D.②③(2)已知函数f(x)＝sinωx＋π4(ω0)的图象在0，π4内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是()A.(0，5)B.(0，5]C.[1，5)D.(1，5](3)(2021·抚顺调研)已知函数f(x)＝2sin(x＋θ＋π3)θ∈－π2，π2是偶函数，则θ的值为________.(4)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)的最小正周期为4π，且∀x∈R有f(x)≤fπ3成立，则f(x)图象的对称中心是________，对称轴方程是________.【答案】(1)D(2)C(3)π6(4)2kπ＋4π3，0，k∈Zx＝2kπ＋π3，k∈Z【解析】(1)①y＝cos|x|＝cosx，最小正周期为2π，错误；②y＝|cosx|，最小正周期为π，正确；③y＝cos2x＋π6，最小正周期为2π2＝π，正确；④y＝tan2x－π4最小正周期为π2，错误.故选D.(2)令ωx＋π4＝kπ＋π2，x＝1ωkπ＋π4，k∈Z，∵ω0，由题意得1ω×π4≤π4，1ω×5π4π4，解得1≤ω5.故选C.(3)∵函数f(x)为偶函数，∴θ＋π3＝kπ＋π2(k∈Z).又θ∈－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意.(4)由f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，因为f(x)≤fπ3恒成立，所以f(x)max＝fπ3，即12×π3＋φ＝2kπ(k∈Z)，又∵|φ|π2，所以φ＝－π6，故f(x)＝cos12x－π6，令12x－π6＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝4π3＋2kπ(k∈Z)，故f(x)图象的对称中心为2kπ＋4π3，0，k∈Z.令12x－π6＝kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋π3(k∈Z)，故f(x)图象的对称轴方程是x＝2kπ＋π3，k∈Z.【方法技巧】1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A≠0)的形式，再分别应用公式T＝2π|ω|或T＝π|ω|求解.2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y＝Asin(ωx＋φ)代入x＝0，若y＝0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)，若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋kπ(k∈Z).3.对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可.【变式训练】1.已知函数f(x)＝asinx＋cosx(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝π6对称，则函数g(x)＝sinx＋acosx的图象()A.关于点π3，0对称B.关于点2π3，0对称C.关于直线x＝π3对称D.关于直线x＝π6对称【答案】D【解析】由题意知f(0)＝fπ3，所以1＝32a＋12，a＝33，所以g(x)＝sinx＋33cosx＝233sinx＋π6，当x＝π3时，x＋π6＝π2，所以直线x＝π3为对称轴，点π3，0不为对称中心，A错误，C正确；当x＝2π3时，x＋π6＝5π6，所以点2π3，0不为对称中心，B错误；当x＝π6时，x＋π6＝π3，所以直线x＝π6不为对称轴，D错误，故选C.2.函数f(x)＝|tanx|的最小正周期是______.【答案】π【解析】y＝|tanx|的图象是y＝tanx的图象保留x轴上方部分，并将下方的部分翻折到x轴上方得到的，所以其最小正周期为π.高频考点三三角函数的单调性【例4】(1)函数f(x)＝cosx＋π6(x∈[0，π])的单调递增区间为()A.0，5π6B.0，2π3C.5π6，πD.2π3，π(2)已知函数f(x)＝2sinπ4－2x，则函数f(x)的单调递减区间为()A.3π8＋2kπ，7π8＋2kπ(k∈Z)B.－π8＋2kπ，3π8＋2kπ(k∈Z)C.3π8＋kπ，7π8＋kπ(k∈Z)D.－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z)【答案】(1)C(2)D【解析】(1)由2kπ－π≤x＋π6≤2kπ，k∈Z，解得2kπ－7π6≤x≤2kπ－π6，k∈Z，∵x∈[0，π]，∴5π6≤x≤π，∴函数f(x)在[0，π]的单调递增区间为5π6，π，故选C.(2)函数的解析式可化为f(x)＝－2sin2x－π4.由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得－π8＋kπ≤x≤3π8＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递减区间为－π8＋kπ，3π8＋kπ(k∈Z).故选D.【例5】已知函数f(x)＝2cosx＋π6，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ4，则a，b，c的大小关系是()A.abcB.acbC.cabD.bac【答案】A【解析】a＝fπ7＝2cos13π42，b＝fπ6＝2cosπ3，c＝fπ4＝2cos5π12，因为y＝cosx在[0，π]上递减，又13π42π35π12，所以abc.已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.【答案】12，54【解析】由π2xπ，ω0得，ωπ2＋π4ωx＋π4ωπ＋π4，又y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋π2，2kπ＋3π2，k∈Z，所以ωπ2＋π4≥π2＋2kπ，ωπ＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得4k＋12≤ω≤2k＋54，k∈Z.又由4k＋12－2k＋54≤0，k∈Z且2k＋540，k∈Z，得k＝0，所以ω∈12，54.【方法技巧】1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.【变式训练】1.(2022·银川模拟)已知函数f(x)＝cos2x－π3－2sinx＋π4