第02讲 等差数列及前n项和（练）（解析版）

第02讲等差数列及前n项和一、单选题1．已知等差数列na的前n项和为44,3,125,,17NnnnSSSnnS，则n的值为（）A．8B．11C．13D．17【答案】D【分析】根据为412nS，17nS得到32117125nnnnaaaa，结合412343Saaaa，两式相加，再利用等差数列的性质得到12naa，利用17nS求出n的值.【详解】412343Saaaa①，因为412nS，17nS，所以32117125nnnnaaaa②，①+②得：12132438nnnnaaaaaaaa，由等差数列的性质可知：1213243nnnnaaaaaaaa，所以12naa，又因为1172nnnaaS，所以17n.故选：D2．已知等差数列na满足30120S，6933060aaaa，则na（）A．225nB．227nC．315nD．318n【答案】B【分析】根据等差数列的性质求出公差，再由前n项和公式求出首项，即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，则30142825293630()()()Saaaaaaaaa363036303630()20()10()aaadaaadaaa18030d，即12018030d，解得2d.又30130293021202Sa，解得125a.所以25(1)2227nann，故选：B3．设等差数列na的前n项和为nS，且40450S，40440S，则nS取最小时，n（）A．4045B．4044C．2023D．2022【答案】D【分析】由已知，利用等差数列前n项和公式及其性质得20230a，202220230aa，进而得出结论．【详解】等差数列{}na的前n项和为nS，且40450S，40440S，140452023404540452022aaa，14044202220234044202202aaaa，20230a，202220230aa，20230a，公差0d，则当2022n时nS最小．故选：D4．在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠，依次每人分到的比前一人多分17斤绵，则第八个儿子分到的绵是（）A．65斤B．82斤C．167斤D．184斤【答案】D【分析】根据等差数列na的通项公式以及前n项和公式即可求解.【详解】设8个儿子依次分绵1a斤，2a斤，3a斤，…，8a斤，则数列na是公差为17的等差数列，因为绵的总重量为996斤，所以81878179962Sa，解得165a，则第八个儿子分到的绵865717184a．故选：D．5．在1和10之间插入n个实数，使得这2n个数构成递增的等比数列，将这2n个数的乘积记作nT，则1211lglglgTTT（）A．132B．11C．44D．52【答案】C【分析】由条件结合等比数列通项公式求出1nq，再根据指数运算性质及等差数列求和公式求出nT，由此可求lgnT，再由等差数列求和公式求1211lglglgTTT的值.【详解】设这2n个数构成的等比数列为nc，则11c，210nc，所以110nq．又1212312121221nnnnnnTcccqqqqq，所以122222lglglg102nnnnnTq．故1211313113451322lglglg4422222TTT．故选：C．6．“苏州码子”发源于苏州，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场合．“苏州码子”0~9的写法如下：〇0、〡1、〢2、〣3、〤4、〥5、〦6、〧7、〨8、〩9．为了防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写．已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔2公里摆放一个里程碑，若在A点处里程碑上刻着“〣〤”，在B点处里程碑上刻着“〩〢”，则从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和为（）A．1560B．1890C．1925D．1340【答案】B【分析】根据规定确定A，B两处的里程碑的数值，再由等差数列通项公式确定里程碑的数量，并利用等差数列前n项和公式求从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和.【详解】根据题意知，A点处里程碑上刻着数字34，B点处里程碑上刻着数字92，里程碑上刻的数字成等差数列，公差为2，因此从A点到B点的所有里程碑个数为92341302n，从A点到B点的所有里程碑上所刻数字之和为30293034218902，故选：B．7．已知数列na，nb为等差数列，且公差分别为12d，21d，则数列23nnab的公差为（）A．7B．5C．3D．1【答案】D【分析】利用112323nnnnabab即可整理求得公差.【详解】na，nb为等差数列，23nnab为等差，设其公差为d，则111112232323231nnnnnnnndababaabbdd.故选：D.二、填空题8．在数列na中，12a，12nnaa，则10a______．【答案】200【分析】先由等差数列的定义求得数列na是等差数列，进而求得,nnaa的通项公式，即可求解.【详解】由12nnaa，得12nnaa，而12a，所以数列na是以2为首项，2为公差的等差数列，则有2212nann，所以22nan，则210210200a．故答案为：200.9．数列{an}满足11535nnnaa，16a，则数列{an}的通项公式为___________.【答案】9(3)55nnan．【分析】已知式两边同除以15n，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．【详解】∵11535nnnaa，所以11355nnnnaa，即11355nnnnaa，∴{}5nna是等差数列，而1655a，所以693(1)3555nnann，所以9(3)55nnan．故答案为：9(3)55nnan．10．已知数列na的前n项和为nS，且12a，142nnSa，则na__________．【答案】2nn【分析】利用数列的递推式可得211222nnnnaaaa，构造等比数列，求得1122nnnaa，从而11122nnnnaa，构造等差数列，求得答案.【详解】由题意得2142Sa，所以12142aaa，解得28a，又因为221144nnnnnaSSaa，于是211222nnnnaaaa，因此数列12nnaa是以2124aa为首项、2为公比的等比数列，故1112422nnnnaa，于是11122nnnnaa，因此数列2nna是以1为首项、1为公差的等差数列，故1(1)2nnann，故2nnan,故答案为：2nn三、解答题11．已知数列na满足13a，22a，11na为等差数列．(1)求na的通项公式；(2)求满足不等式122023naaa的最大正整数n．【答案】(1)2nnan(2)62【分析】（1）求出首项和公差，进而求出通项公式；（2）利用第一问求出的通项公式，利用累乘法化简得到12122nnaaan，得到不等式，求出最大正整数解.（1）11111312a，2111121a，因为11na为等差数列，所以公差21111111122daa，所以111111222nnna，故2nnan（2）由（1）得：2nnan，12123451212312nnnnnnaana，所以1222023nn，即124046nn，因为636440324046，646541604046，所以满足不等式122023naaa的最大正整数为62.12．为了净化环境，保护水资源，某化工企业在2020年年底投入100万元购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．(1)求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；(2)问：该企业污水处理设备使用几年时年平均污水处理费用最低？最低年平均污水处理费用是多少万元？【答案】(1)1001.5yxxxN(2)该企业污水处理设备使用10年时年平均污水处理费用最低，最低年平均污水处理费用是21.5万元【分析】（1）由已知，可设设该企业第x年使用该设备的维护费为xa万元，根据题意，可以得到12xxaa的递推关系，然后利用等差数列的定义判定数列xa是等差数列，然后利用等差数列的前n项和公式即可完成对总维护费的求解，进而表示出总费用和平均费用；（2）由第（1）问求解出的平均费用的表达式，借助基本不等式即可求解最值.（1）设该企业第x年使用该设备的维护费为xa万元，依题意得，12a，12xxaa，因此数列xa是以12a为首项、2为公差的等差数列，故该企业使用该设备x年的总维护费为2462x万元，则总费用为1000.52462xx万元，因此1000.524621001.5xxyxxxxN．（2）由（1）及xN，可得，1001001.521.521.5yxxxx，当且仅当100xx，即10x时，等号成立，即当10x时，y取得最小值．∴该企业污水处理设备使用10年时年平均污水处理费用最低，最低年平均污水处理费用是21.5万元．一、单选题1．对于数列na，定义11222nnnaaaAn为数列na的“好数”，已知某数列na的“好数”12nnA，记数列nakn的前n项和为nS，若6nSS对任意的*Nn恒成立，则k的取值范围为（）A．1733，B．13964，C．2573，D．16773，【答案】D【分析】由1112222nnnnaaaAn，可得1112222nnnaaan，2n时，将n换为1n，相减可得2(1)nan，通过(2)2naknkn．说明数列{}nakn为等差数列，6nSS对任意的*(N)nn恒成立可化为660ak，770ak，求解即可．【详解】解：由题意，1112222nnnnaaaAn，则1112222nnnaaan，当2n时，21212212nnnaaan，两式相减得11221212nnnnnannn，所以21nan，2n，当1n时，14a对上式也成立，故21nan，则22naknkn，则数列nakn为等差数列，故6nSS对任意的*Nnn恒成立可化为660ak，770ak；即6(2)207(2)20kk，解得16773k.故选：D．2．已知数列na的各项