第01讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（练）（解析版）

第01讲空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积（讲）一、单选题1．据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，PA底面ABCD，底面ABCD是矩形，且543PAABBC，，，则这个“阳马”的外接球表面积为（）A．5πB．200πC．50πD．100π【答案】C【分析】把四棱锥PABCD补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥PABCD的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积．【详解】把四棱锥PABCD补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥PABCD的外接球直径，设球半径为R，则2222(2)50RPAABBC，球表面积为24π50πSR．故选：C．2．如图，平行四边形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中5,2OAOC,30AOC，则原图形的面积是（）A．4B．102C．42D．52【答案】B【分析】求出直观图的面积，再根据原平面图形的面积与直观图的面积比为22:1，计算即可.【详解】解：平行四边形OABC中，5,2,30OAOCAOC，所以平行四边形OABC的面积为1sin305252SOAOC，所以原平面图形的面积是22225102SS.故选：B3．若圆台的高是3，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面成45角，则这个圆台的侧面积是（）A．27B．272C．92D．362【答案】B【分析】由题意，作该圆台的轴截面，求得上下底面半径和母线长，根据侧面积计算公式，可得答案.【详解】由题意，可作该圆台的轴截面，如下图所示：则圆台的高123hOOBE，上底面半径2rOB，下底面半径1ROA，即212OBOA，母线lAB，即45BAE，在RtABE△中，3AEBE，32AB，易知在正方形21OOEB中，21OBOE，则11226AOEOAE，即23OB，综上，3,3,6,32hrRl，圆台的侧面积3632272SrRl.故选：B.4．如图，已知正方体的棱长为a，沿图1中对角面将它分割成两个部分，拼成如图2的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（）A．2822aB．2242aC．2422aD．2642a【答案】C【分析】拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.【详解】由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为2a，宽为a，所以面积为22a，所以拼成的几何体的表面积为222422(422)aaa.故选：C.5．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A．2B．42C．8D．82【答案】D【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2OA，所以22OB，还原回原图形后，2OAOA，242OBOB；所以原图形的面积为24282．故选：D6．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的三等分点处，13CECA，当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．649B．89C．6D．94【答案】A【分析】利用相似比得到四边形ABFE和三角形CAB的面积比，再根据等体积的思路列等式即可求解.【详解】如图，设CB靠近点C的三等分点为点F，当底面ABC水平放置时，液面高度为h，此时液体体积13CABVSh液，因为13CECA,所以1899CEFABFECABCABSSSS，1648327ABFECABVSS液,所以164327CABCABVShS液，解得649h.故选：A.二、填空题7．在三棱锥PABC中，2PAPBPC，且PAPBPC、、两两互相垂直，则三棱锥PABC的外接球的体积为__________．【答案】43π【分析】根据题意，将三棱锥补形为立方体，从而求出立方体的体对角线即为外接球的直径，求出半径，进而求出外接球的体积.【详解】因为2PAPBPC，且PAPBPC、、两两互相垂直，所以三棱锥PABC可补形为立方体，三棱锥PABC的外接球即为立方体的外接球，则立方体的体对角线为其外接球的直径，设三棱锥PABC的外接球的半径为r，则222222223r，所以3r，则外接球体积为34π43π3Vr.故答案为：43π8．圆锥PO轴截面的顶角为34，母线长为2，则过任意两条不重合的母线的截面面积的取值范围为_________.【答案】0,2【分析】设,PAPB为圆锥的任意两条母线，APB，则有30,4，然后利用三角形的面积公式表示出PABS，从而可求出其范围.【详解】设,PAPB为圆锥的任意两条母线，APB，则由题意得30,4，2PAPB，1sin2sin2PABSPAPBAPB，因为30,4，所以2sin(0,2]，所以过任意两条母线的截面面积的取值范围为0,2，故答案为：0,29．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为_________.【答案】3:2【分析】设球的半径为R，计算出圆柱和球的表面积，即可得解.【详解】设球的半径为R，则圆柱的表面积2212π2π26πSRRRR，球的表面积224πSR，所以12:3:2SS.故答案为：3:2.三、解答题10．如图，直三棱柱111ABCABC的体积为4，1ABC的面积为22．求A到平面1ABC的距离；【答案】2【分析】根据等体积法求出棱锥的高即可.【详解】在直三棱柱111ABCABC中，设点A到平面1ABC的距离为h，则111111112211433333AABCAAABCAABCABBCCCBVShhVSAAV，解得2h，所以点A到平面1ABC的距离为2.11．如图，已知正三棱锥SABC的高SOh，侧面上的斜高SMl，求经过SO的中点1O且平行于底面的截面111ABC△的面积（用l，h表示）．【答案】22334lh.【分析】利用正三棱柱的性质可得2233ABCSlh△，根据面面平行的性质可得11//ABAB，进而可得11114ABCABCSS△△，即得.【详解】连接OM，OA，在RtSOM△中，22OMlh，∵棱锥SABC是正三棱锥，∴O是ABC的中心，∴2222tan6023ABAMOMlh，2223334ABCSABlh△，因为平面111//ABC平面ABC，1O为SO的中点，平面111ABCÇ平面11SABAB，平面ABC平面SAB=AB，∴11111//,2ABABABAB，同理可得，11111//,2CBCBCBCB，11111//,2ACACACAC，所以111ABC△∽ABC，所以11114ABCABCSS△△，∴截面111ABC△的面积为11122334ABCSlh△．一、单选题1．公元656年，唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的开立圆术.祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理，我们可以应用此原理将一些复杂几何体转化为常见几何体的组合体来计算体积.如图，将双曲线22:5Cyx与直线2x所围成的平面图形绕双曲线的实轴所在直线旋转一周得到几何体，下列平面图形绕其对称轴（虚线所示）旋转一周所得几何体与的体积相同的是（）A．图①，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个弦长为4､半径为3的弓形B．图②，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个弦长为4､半径为3的弓形C．图③，长为6､宽为4的矩形的两端去掉两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形D．图④，长为25､宽为4的矩形的两端补上两个底边长为4､腰长为3的等腰三角形【答案】B【分析】将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y轴建立平面直角坐标系，根据在y轴的最短和最长距离与双曲线实轴长和几何体母线长对比可排除③④；假设53ytt，与双曲线C相交后旋转，可求得圆环面积；分别在①②中求得53ytt与图形相交所得的弦长，根据旋转后的圆环面积和圆面积是否与已知的圆环面积相等来判断出结果.【详解】由2252yxx得：3y，则当53ytt与C相交于两点时，内圆半径25rt，则在该位置旋转一周所得圆环面积为22459tt；将所有图形均以矩形的中心为原点，以对称轴为y轴建立平面直角坐标系，对于③，双曲线实轴长为25，③中y轴的最短距离为226232625，不合题意，③错误；对于④，几何体母线长为6，④中y轴的最长距离为222523245，不合题意，④错误；对于①，在y轴的最短距离为226233225，母线长为6，与几何体吻合；当53ytt与①中图形相交时，两交点之间距离为222335t，此时圆环面积为22243352351425ttt，不合题意，①错误对于②，在y轴的最长距离为222523326，矩形高为25，与几何体吻合；当53ytt与②中图形相交时，两交点之间距离为2222329tt，此时圆面积为29t，与圆环面积相同，满足题意，②正确.故选：B.2．半径为R的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，BCD△是平面内边长为R的正三角形，线段,ACAD分別与球面交于点,MN，那么三棱锥AOMN的体积是（）A．34375RB．34325RC．3375RD．3325R【答案】A【分析】作出辅助线，根据三角形相似表达出各边长，利用三角形面积公式求出AOP的面积及三棱锥的体积.【详解】连接,,,BMMNOMON，因为AB为直径，所以BMAM，在RtABC中，RtBCMRtACB，所以BCCMACBC，即2CBCMAC，其中22(2)5ACRRR，所以545,55CMRAMR，易证AMNACD∽，所以4455MNCDR，取MN的中点,PCD的中点Q，连接AQ，则AQ必过点P，于是21332222ABQSRRR，又14,25AOABAPAQ，所以1114sinsin2225AOPSAOAPOAPABAQOAP141sin252ABAQAOP22141433252525ABQSRR，于是23113443335575AOMNAOPVSMNRRR.故选：A3．在ABC中，45,3,tan3ABACA，点MN､分别在边ABBC､上移动，且MNBN，沿MN将BMN△折起来得到棱锥BAMNC，则该棱锥的体积的最大值是（）A．16215B．16315C．16615D．309128【答案】C【分析】根据题意，可得ABC的具体形状，由折叠，可得当面MNB面AMNC时，此时的点B到底面AMNC的距离最大，设2BMx，将四棱锥中底面积和高，都用x表示出来，整理出体积的函数，利用导数求最值，可得答案.【详解】由4tan3A得3cos5A，由余弦定理得4CB，则ABC是直角