第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（练）（解析版）

第02讲空间点、直线、平面之间的位置关系（练）一、单选题1．如图所示，直三棱柱111ABCABC中，60BCAMN，，分别是111ACCC，的中点，1BCCACC，则BN与AM所成角的余弦值为（）A．35B．45C．23D．34【答案】A【分析】取1BB的中点QAC，的中点P，由题可得1QCP为BN与AM所成角，结合条件及余弦定理即得.【详解】取1BB的中点QAC，的中点P，则11////BNCQAMCP，，∴1QCP为BN与AM所成角，由题可知直三棱柱111ABCABC为正棱柱,设2BC，则52AMBNPQ，，在1PQC△中，可得15543cos5255PCQ,∴BN与AM所成角的余弦值为35．故选：A．2．下列能保证直线a与平面平行的条件是（）A．b，ab∥B．a，b，ab∥C．b､A，Ba，C，Db，且ACBDD．b，c∥，ab∥，ac∥【答案】B【分析】由线面平行的判定定理可知ACD不满足条件.【详解】A中，直线a可能在平面内，A错误；B中，a，b，ab∥，根据线面平行的判定，可知a∥，B正确；C中，ACBD，若点,AB在内，则直线a在平面内，C错误.D中，直线a可能在平面内，D错误.故选：B3．在三棱锥ABCD中,,,,EFGH分别是,,,ACCDBDAB边的中点，且ADBC，则四边形EFGH是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】B【分析】根据中位线的性质及平行公理可得四边形EFGH是平行四边形，再利用ADBC可得四边形EFGH是矩形.【详解】因为,,,EFGH分别是,,,ACCDBDAB边的中点，所以//,//EFADHGAD，所以//EFHG；同理可得//EHGF，所以四边形EFGH是平行四边形；又因为ADBC，所以EHEF，即四边形EFGH是矩形.故选：B.4．对于直线m、n和平面，下面命题中的真命题是（）A．如果m，n，m、n是异面直线，那么//nB．如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交C．如果m，//n，m、n共面，那么//mnD．如果//m，//n，m、n共面，那么//mn【答案】C【分析】根据点、线、面的位置关系并结合图形即可判断答案【详解】解：对于A，如果m，n，m、n是异面直线，则//n或n与相交，故A错；对于B，如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交或平行，故B错；对于C，如果m，//n，m、n共面，由线面平行的性质定理，可得//mn，故C对；对于D，如果//m，//n，m、n共面，则//mn或,mn相交，故D错故选：C5．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面D．相交或异面【答案】D【分析】根据空间中两直线的位置关系，即可求解：【详解】如图（1）所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中la//，此时直线l与b为相交直线；如图（2）所示，此时直线a与直线b为异面直线，其中la//，此时直线l与b为异面直线，综上，一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线的位置关系是相交或异面.故选:D.6．正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系是（）A．异面垂直B．异面不垂直C．可能相交可能异面D．可能相交、平行或异面【答案】A【分析】作出辅助线，证明线面垂直，从而证明线线垂直，得到正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系.【详解】如图，正方体的对角线1AC，与其不共端点的面对角线11BD，连接11AC，则1111ACBD，又因为1AA平面1111DCBA，11BD平面1111DCBA，所以1AA11BD，因为1111AAACA，111,AAAC平面11AAC，所以11BD平面11AAC，因为1AC平面11AAC，所以11BD1AC，且两直线异面，同理可证明正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线垂直且异面，综上：正方体的对角线与各个面上与其不共端点的对角线的位置关系为异面垂直.故选：A二、填空题7．已知四面体ABCD中，E、F、G分别为BC、AD、BD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为π3，则FGE_________.【答案】π3或2π3【分析】根据//ABFG，//CDGE，结合异面直线夹角的定义求解即可.【详解】如图，因为E、F、G分别为BC、AD、BD的中点，故//ABFG，//CDGE，故AB与CD所成的角即FG与GE所成的角为π3，且与FGE相等或者互补，故FGEπ3或2π3.故答案为：π3或2π38．已知P，Q，R，S是相应长方体或空间四边形的边或对角线的中点，则这四点必定共面的是______．（写序号）【答案】①③④【分析】利用平面的基本性质及推论，逐一检验即可．【详解】①中，//PRQS，P，Q，R，S四点共面；②中，PR和QS是异面直线，故四点不共面；③中，//PSQR，P，Q，R，S四点共面；④中，////PQRSBC，P，Q，R，S四点共面；故答案为：①③④9．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为______．【答案】4【分析】根据正方体的结构特征，先确定至多可选出4条，再确定选出4条两两异面的线，即可得到结论．【详解】正方体共有8个顶点，若选出的n条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线（如图,,,ACBCBDAD），故所求n的最大值是4．故答案为：4．10．对于任意给定的两条异面直线，存在______条直线与这两条直线都垂直．【答案】无数【分析】平移一条直线与另一条相交并确定一个平面，再由线面垂直的意义及异面直线所成角判断作答.【详解】令给定的两条异面直线分别为直线,ab，平移直线b到直线b，使b与直线a相交，如图，则直线b与a确定平面，点A是平面内任意一点，过点A有唯一直线l，因此，,lalb，即有lb，由于点A的任意性，所以有无数条直线与异面直线,ab都垂直.故答案为：无数三、解答题11．如图，ABCD为空间四边形，点E，F分别是AB，BC的中点，点G，H分别在CD，AD上，且13DHAD，13DGCD．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：EH，FG必相交且交点在直线BD上．【解析】（1）证明：连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，13DHAD，13DGCD；所以//EFAC，//HGAC，所以//EFHG，所以E，F，G，H四点共面．（2）证明：易知13HGAC，又12EFAC，所以HGEF，结合（1）的结论可知，四边形EFGH是梯形，因此直线EH，FG不平行．设它们交点为P，P平面ABD，同理PFG，所以P平面BCD，又平面ABD平面BCDBD，因此PBD，即EH，FG必相交且交点在直线BD上．一、单选题1．在正方体1111ABCDABCD中，M是棱11AD上的点且1112AMMD，N是棱CD上的点，记MN与BC所成的角为，MN与底面ABCD所成的角为，二面角MCDA的平面角为，则（）A．B．C．D．【答案】B【分析】作MHAD于H，过N作//NEBC交AB于E，过M作MFNE于F，可得MNF，MDA，MNH，在正方体中求得它们的正切值比较大小后可得结论．【详解】作MHAD于H，则1//MHAA，1AMAH，从而1HDMD，而1AA平面ABCD，因此有MH平面ABCD，过N作//NEBC交AB于E，过M作MFNE于F，则MNF，tanMFMNFFN,由正方体性质易知MDA为二面角MCDA的平面角，即MDA，1113tan223AAMHMDADHAD，NF平面ABCD，则MHNF，同理MHHN，MFMHM，,MFMH平面MFH，所以NF平面MFH，又HF平面MFH，所以FNHF，所以HDNF是矩形，FNDH，由MH平面ABCD知MNH，tanMHMNHHN，由MFMH，FNHD得MFMHMHFNHDNH，即tantantan，,,均为锐角，所以，N与D重合时，三角相等．故选：B．2．如图，点A，B，C在球心为O的球面上，已知3AB，1BC，60ACB，球O的表面积为32π，下列说法正确的是（）．A．ABOCB．平面OAB平面OBCC．OB与平面ABC所成角的正弦值为144D．平面OAB与平面ABC所成角的余弦值为28【答案】C【分析】根据条件3AB，1BC，60ACB计算出AC的长度，从而知三角形ABC为RtABC△，故知截面圆心为三角形ABC边AC中点（记为1O），进而知平面OAC平面ABC，再由球O的表面积为32π得出球的半径R，然后逐个分析选项即可.【详解】如图1，3AB，1BC，60ACB，由余弦定理得2AC，ABBC，三角形ABC为RtABC△，取AC中点为1O，连接1OO，则1OO平面ABC，又32πS球＝，22ROAOBOC，17OO＝.据此，绘制出图2，则对A选项，如图2，若ABOC，而//ABCD，CDOC，而22,3ODOCAB，显然CDOC不成立，故A错误；对B选项，如图2，假设平面OAB平面OBC，过点C作OB垂线交OB于Q点，即CQOB^，CQ面OAB，CQAB，又CBAB，CQ与CB重合，即三角形OBC为RtOBC△，而在三角形OBC中，22,1OBOCBC，90OBC，三角形OBC不是RtOBC△，故矛盾，因此，故B不成立；对C选项，如图1，1OO平面ABC，OB与平面ABC所成角为1OBO，1RtOBO在，17OO＝，2OBR＝=2，11714sin422OOOBOOB，故C成立；对D选项，如图2，取AB中点为E，连接1EO，EO，则OEAB，1OEAB，平1OEO平面OAB与平面ABC所成角的平面角，1RtOEO在中，11122EOBC＝，2211292EOEOOO＝，11129229c292osOEOOOEE＝＝，故D不成立．故选：C．3．已知正方体1111ABCDABCD中，点M在线段1CC上，记平面BDM平面11BDMl，则异面直线1AB与l所成角为（）A．6B．4C．3D．2【答案】C【分析】由直线的平行关系可得出11ABD即为所求角.【详解】由图可知：11BDBD∥，BD平面BDM，11BD平面BDM，所以11BD平面BDM，又因为平面BDM平面11BDMl，11BD平面11BDM，所以11BDl∥，故11ABD即为异面直线1AB与l所成角，易知11ABD是等边三角形，所以113ABD．故选：C4．已知正方体1111ABCDABCD中，E是AB的中点，则下列结论正确的是（）A．1DE与1DB相交B．11DEADC．1DE平面1ABDD．1//DE平面1BDC【答案】B【分析】对于A，作图直接观察，由异面直线的定义，可得答案；对于B，由线面垂直的定义，通过证明线面垂直，可得答案；对于C，根据正方体的性质，结合线面垂直判定定理，找出垂线，判断其垂直与已知直线的位置关系，可得答案；对于D，过所求平面中的点，作已知直线的平行线，根据线面位置关系，可得答案.【详解】对于A，由题意可作图如下：因为1DE与1DB异面，故A错误；对于B，连接1AD在正方体1111ABCDABCD中，如下图：11ADAD，AE⊥平面11ADDA，因为1AD平面11ADDA，所以1AEAD，因为1AEADA，所以1AD平面1AED，1DE平面1AED，所以11DEAD，故B正确；对于C，连接1AC，如下图